Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

11.4 Integration meßbarer Funktionen11.4.1 Definition und Eigenschaften des IntegralsIn diesem Abschnitt definieren wir das Integral über meßbare Funktionen auf einem Maßraumund studieren die Eigenschaften dieses Integrals. (X, A, µ) sei ein Maßraum undf : X → ¯R eine numerische, A-meßbare Funktion. Wir wollen ein Integral∫f dµ ∈ ¯RXdefinieren, das schöne Konvergenzeigenschaften hat und das das Maß zurückliefert, d.h. fürdas insbesondere∫µ(A) = χ A dµ ∀A ∈ Agilt. Ein solches Integral definieren wir in 3 Schritten:1. Integral für einfache Funktionen2. Integral für nichtnegative Funktionen3. Integral für beliebige numerische Funktionen.∑Definition: Sei f : X → R eine einfache Funktion und f = n c i χ Ai . Die Zahl∫XXf dµ :=n∑c i µ(A i )i=1heißt Integral von f über X bezüglich des Maßes µ.Man überprüft leicht, dass diese Definition korrekt ist, d.h. nicht von der Wahl der Darstellungvon f als einfache Funktion abhängt.Satz 11.21 (Eigenschaften des Integrals). Seien f, g : X → R einfache Funktionen.Dann gilt:i=11. Die Funktion αf + βg, α, β ∈ R , ist einfach und es gilt∫∫ ∫(αf + βg)dµ = α fdµ + βXXXgdµ2. Ist f ≤ g, so gilt ∫X∫fdµ ≤Xgdµ.Beweis: Wir stellen f und g als einfache Funktionen für eine gemeinsame disjunkte Zerlegungdar. Seienf =n∑m∑c i χ Ai , g = d j χ Bj .i=1⋃Wir wählen dann die Zerlegung X = ˙ (B j ∩ A i ) und stellen f und g in der Formf =∑n,mi,j=1i,jc i χ Ai ∩B j, g =j=1∑n,mi,j=1d j χ Ai ∩B j.34