Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Definition: Sei (X, A, µ) ein Maßraum. Eine A-meßbare Funktion f : X → R heißtµ-integrierbar, falls∫∫f + dµ < ∞ und f − dµ < ∞.In diesem Fall definiert manDie ZahlmanX∫X∫fdµ :=XX∫f + dµ −Xf − dµ∫fdµ heißt Integral von f über X bzgl. µ. Ist A ⊂ X und A ∈ A, so definiertX(Dies existiert, wenn f µ-integrierbar ist).∫ ∫fdµ := fχ A dµ.AXIst E ∈ A und f : E ⊂ X → ¯R eine nur auf E definierte µ-meßbare Funktion. Dann heißtf : E ⊂ X → ¯R über E µ-integrierbar, falls f integrierbar bzgl. dem Maßraum (E, A E , µ E )ist.Mit dem Symbol L(X, A, µ) bezeichnen wir den Raum der über X µ-integrierbaren numerischenA-meßbaren Funktionen f : X → ¯R.Ist f ∈ L(X, A, µ) und E ∈ A, so gilt offensichtlich f| E ∈ L(E, A E , µ E ) und∫∫f| E dµ E = fdµ .EWollen wir explizit den Namen der Variablen, die im Integrationsbereich liegen, benennen,so schreiben wir für die Integrale auch die längere Form∫∫f(x) dµ(x) := f dµ.XDiese längere Bezeichnung wird vor allem im nächsten Abschnitt sinnvoll, wo wir die Integrationüber Produkträume behandeln werden und die Faktoren der Produkte deutlichunterscheiden wollen.EXIn den folgenden 3 Sätzen formulieren bzw. beweisen wir Rechenregeln für das Integralµ-integrierbarer Funktionen.Satz 11.25 (Rechenregeln für das Integral). Seien f, g ∈ L(X, A, µ) und α, β ∈ R.Dann gilt1. αf + βg ∈ L(X, A, µ) und ∫ (αf + βg)dµ = α · ∫fdµ + β · ∫gdµ.XXX2. Ist f ≤ g, so gilt ∫ fdµ ≤ ∫ gdµ .X X3. ∣ ∫ fdµ ∣ ≤ ∫ |f|dµ .XX4. Seien A n ∈ A, n = 1, 2 . . ., paarweise disjunkte Mengen. Dann gilt∫∞∑∫fdµ = fdµ.∞⋃n=1A nA nn=138