Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

11.9 Wiederholungsfragen zur PrüfungsvorbereitungDie folgenden Fragen fassen den in Kapitel 11 behandelten Stoff zusammen. Sie sollen dieVorbereitung auf die Analysisprüfung erleichtern. Bei der Beantwortung der Fragen solltenSie folgendes beachten: Zu getroffenen Aussagen sollten Sie Beweise bzw. kurze Beweisideenkennen, mathematische Begriffe sollten Sie an Beispielen bzw. Gegenbeispielen erläuternkönnen. Außerdem sollten Sie den Vorlesungsstoff auf die Lösung von Aufgaben anwendenkönnen (wie in der Übung behandelt bzw. in den wöchentlichen Hausaufgaben gestelltwurden).1. Definieren Sie die Begriffe Ring, Algebra und σ-Algebra über einer nichtleeren MengeX. Wie hängen diese Begriffe zusammen? Nennen Sie Beispiele.2. Definieren Sie die σ-Algebra der Borelmengen eines metrischen Raumes. Wie kann mandiese σ-Algebra erzeugen? Nennen Sie Eigenschaften der σ-Algebra der Borelmengen.3. Definieren Sie die Begriffe Inhalt, σ-Inhalt und Maß. Welche Eigenschaften haben dieseMengenfunktionen? Nennen Sie Beispiele.4. Erläutern Sie die Konstruktion von Maßräumen nach Caratheodory: Definieren Sieden Begriff des äußeren Maßes µ ∗ . Welche Eigenschaften hat das Mengensystem allerµ ∗ -meßbaren Mengen?5. Erläutern Sie Möglichkeiten, äußere Maße zu konstruieren (aus einem Ring mit σ-Inhalt, metrische äußere Maße). Welche zusätzlichen Eigenschaften haben die äußerenMaße, die aus einem Ring mit σ-endlichem σ-Inhalt konstruiert werden? (Vervollständigung,Eindeutigkeit der Fortsetzung).6. Definieren Sie das äußere Lebesgue-Maß, das Borel-Lebesgue-Maß und das Lebesgue-Maß auf dem R n . Nennen Sie Beispiele für Lebesgue-meßbare bzw. nicht LebesguemeßbareMengen. Nennen Sie Kriterien für die Lebesgue-Meßbarkeit einer Teilmengedes R n .7. Definieren Sie den Begriff der meßbaren Abbildung zwischen meßbaren Räumen. Wannheißt eine numerische Funktion meßbar? Nennen Sie Kriterien für die Meßbarkeit einernumerischen Funktion. Welche Eigenschaften meßbarer Funktionen kennen Sie?8. Wann heißt eine numerische Funktion Borel- bzw. Lebesgue-meßbar? Wie verhält sichdie Klasse der stetigen Funktionen zur Klasse der Lebesgue-meßbaren Funktionen(Satz von Lusin, Satz von Frechet)?9. Erläutern Sie die Integraldefinition für numerische Funktionen auf einem Maßraum.Nennen Sie die wichtigsten Eigenschaften des Integrals.10. Welche Konvergenzsätze kennen Sie für das Integral von Funktionenfolgen auf einemMaßraum?11. Welche Beziehung besteht zwischen dem Riemann-Integral und dem Lebesgue-Integral?12. Wie bildet man das Produkt zweier σ-endlicher Maßräume? Welche Eigenschaften hatdas Produktmaß?77