Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Die Behauptung 1.b) folgt dann aus Satz 11.37. Analog beweist man die Aussage für diey-Schnitte. Weiterhin gilt:∫χ H d(µ ⊗ ν) = (µ ⊗ ν)(H) = (µ ⊗ ν)(G)X×Y11.37==∫X∫( ∫ Y( ∫ Y) ∫χ G dν dµ =)χ H dν dµ =Y∫( ∫ X( ∫ X)χ G dµ dν)χ G dµ dνX 0Y 0Folgerung 7: Satz von Fubini für Lebesgue-integrierbare FunktionenSeien A ⊂ R n und B ⊂ R m Lebesgue-meßbare Mengen und f : A × B ⊂ R n+m → ¯R eineLebesgue-integrierbare oder nichtnegative, Lebesgue-meßbare Abbildung. Dann gilt∫∫) ∫)f(x, y)dλ n+m (x, y) = f(x, y)dλ m (y) dλ n (x) = f(x, y)dλ n (x) dλ m (y)A×BA 0( ∫ BIst f das Produkt von Funktionen, d.h. f(x, y) = h(x) · g(y) für integrierbare Funktionenh : A → ¯R und g : B → ¯R , so gilt∫( ∫ ) ( ∫ )f dλ n+m = h dλ n · g dλ m .A×BABB 0( ∫ AFolgerung 8: Sei E ⊂ R n eine Lebesgue-meßbare Menge und f : E ⊂ R n → ¯R eineLebesgue-integrierbare oder nichtnegative, meßbare Abbildung. Dann gilt für das Lebesgue-Integral∫ ∫fdλ n = χ E fdλ n =ER∫n ( ∫)= (χ E f)(x 1 , . . . , ˆx i , . . . , x n ) dλ n−1 (x 1 , . . . , ˆx i , . . . , x n ) dx iR R∫ ( ∫n−1 )= f(x 1 , . . . , x n ) dλ n−1 (x 1 , . . . , ˆx i , . . . , x n ) dx iE xiRHier benutzen wir zur Abkürzung das Symbol dx idλ 1 (x i ) . Für die Schnitte E xi giltfür das 1-dimensionale Lebesgue-MaßE xi = {(y 1 , . . . , y n−1 ) ∈ R n−1 | (y 1 , . . . , y i−1 , x i , y i , . . . , y n−1 ) ∈ E} .Folgerung 9: Prinzip von CavalieriSei E ⊂ R n eine Lebesgue-meßbare Menge. Dann berechnet sich das Lebesgue-Maß durch∫λ n (E) = λ n−1 (E xi )dx i i = 1, . . . , n(Man integriert die Maße der x i -Schnitte von E).R55