Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

⎛Dψ =⎜⎝∂ϕ 1∂x 1∣ ∣∣ ∗0.0∣1. ..1Also ist Det(Dψ(p)) ≠ 0. Folglich ist ψ lokaler Diffeomorphismus um p (siehe Analysis II,Kapitel 6). Sei nun U so klein gewählt, dass ψ : U → W ein Diffeomorphismus von U aufeine offene Menge W ist. Wir bezeichnen dann mit ρ : W → V die Abbildung ρ := ϕ ◦ ψ −1 .Dann gilt offensichtlich ρ(y 1 , y 2 , . . . , y n ) = (y 1 , ρ 2 (y), . . . , ρ n (y)) . Wir haben also lokal ump den Diffeomorphismus ϕ in die Verknüpfung zweier Diffeomorphismen ψ und ρ zerlegt,die beide mindestens eine Koordinate festlassen:Uϕψ ❘W✲V✒ρ:=ϕ·ψ −1Entsprechend Punkt 4.) genügt es somit, die lokale Behauptung 2.) für Abbildungen ϕ zubeweisen, die die 1. Koordinate festlassen. Sei alsoDann giltϕ : (t, x) ∈ U → (t, ϕ t (x))ϕ t⎞⎟⎠mit: U t := {x ∈ R n−1 | (t, x) ∈ U} → R n−1⎛1(Dϕ)(t, x) = ⎜⎝∗∣ 0 . . . 0∣ (Dϕ t )(x)d.h. Det(Dϕ(t, x)) = Det Dϕ t (x) . Wir wenden nun die Induktionsvoraussetzung, das Prinzipvon Cavalieri und den Satz von Fubini an, und erhalten⎞⎟⎠λ n (ϕ(A)) ===Fubini==∫R∫R∫R∫R n∫A∫λ n−1 (ϕ(A) t ) dλ 1 (t) = λ n−1 (ϕ t (A t )) dλ 1 (t)( ∫ |Det Dϕ t (x)| dλ n−1 (x))dλ 1 (t)A t( ∫R n−1R)χ At |Det Dϕ t (x)| dλ n−1 (x) dλ 1 (t)χ A |Det Dϕ| dλ n|Det Dϕ| dλ n .Beispiel: Das Volumen der Kugel vom Radius R im R nSei D n (R) = {x ∈ R n | ‖x‖ ≤ R} die Vollkugel vom Radius R im R n . Wir wollen folgendeFormel für das Volumen zeigen:60