Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

dar. Dann folgen die Behauptungen aus der Definition.Definition: Sei (X, A, µ) ein Maßraum und f : X → [0, ∞] eine nichtnegative, numerische,A-meßbare Funktion. Dann heißt die Zahl∫{ ∫ }fdµ := sup ϕ dµ ∣ ϕ : X → R einfach, ϕ ≤ f ∈ [0, +∞]XXIntegral von f über X bzgl. des Maßes µ. Ist A ∈ A, so definiert man dasIntegral von f über A (bzgl. µ) durch∫ ∫fdµ := fχ A dµASatz 11.22. Sei (X, A, µ) ein Maßraum und seien f, g : X → [0, ∞] nichtnegative, A-meßbare Funktionen. Dann gilt1. f ≤ g auf A ∈ A ⇒ ∫ fdµ ≤ ∫ gdµA A2. A, B ∈ A, A ⊂ B ⇒ ∫ fdµ ≤ ∫ fdµA B3. Sind A und B disjunkte Mengen aus A. Dann gilt∫ ∫ ∫fdµ = fdµ + fdµ4.A∪B∫fdµ = 0 ⇐⇒ µ({x ∈ X|f(x) > 0}) = 0 , d.h. f = 0 µ-fast überall.XBeweis: 1)-3) folgen unmittelbar aus der Definition des Integrals und den Eigenschaftendes Integrals für einfache Funktionen (lassen wir als Übung). Wir beweisen nur 4.).(⇒): Wir setzen E n := {x ∈ X | f(x) ≥ 1 n } ∀ n ∈ N. Dann gilt E n ⊂ E n+1 undXAE := {x ∈ X | f(x) > 0} =B∞⋃E n .Da f meßbar ist, sind E n , E ∈ A (Folgerung 3.) Aus den Monotonieeigenschaften 1) und 2)folgt∫ ∫ ∫0 = fdµ ≥2.fdµ 1. 1≥n dµ = 1 n µ(E n) ∀n ∈ N.X E n E nAlso gilt µ(E n ) = 0 ∀n ∈ N. Aus der Stetigkeit des Maßes von unten folgtn=1µ(E) = limn→∞ µ(E n) = 0.(⇐): Sei E := {x ∈ X | f(x) > 0} und µ(E) = 0. Für jede einfache, nichtnegative Funktionϕ ≤ f gilt dann E ϕ := {x ∈ X | ϕ(x) > 0} ⊂ E , also µ(E ϕ ) = 0 und folglich ∫ Xϕ dµ = 0 .Aus der Integraldefinition erhält man dann ∫ f dµ = 0 .XAls nächstes beweisen wir zwei grundlegende Konvergenzeigenschaften für das Integral vonFunktionenfolgen:35