Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Wir vergrössern nun die Quader W l etwas: Seien ˜W l Quader mit W l ⊂ int ˜W l und∞∑vol( ˜W l ) ≤l=1=∞∑(vol(W l ) +ε2 l+1 )l=1∞∑vol(W l ) + ε (∗ ∗ ∗)2l=1Wir setzen U := ⋃ ∞l=1 int ˜W l ⊂ R n . Dann ist U offen und es gilt A ⊂ U. Da λ n (A) < ∞ ist,folgtλ n (U\A) = λ n (U) − λ n (A) ≤(∗∗)(∗∗∗)≤Also gilt λ n (U\A) < ε.∞∑k=1∞∑ν n (int ˜W l ) − λ n (A) ≤l=1∞∑ν n ( ˜W l ) − λ n (A)l=1ν n (A k ) + ε 2 − λ n(A) (∗)≤ λ ∗ n(A) + ε − λ n (A) = ε2. Fall: Sei λ n (A) = ∞. Wir führen dies auf den 1. Fall zurück: Sei W k = [−k, k) n ⊂ R nund A k := A ∩ W k . Dann gilt λ n (A k ) ≤ λ n ((W k ) = vol(W k ) = (2k) n < ∞. Dann benutztman den 1. Fall für A k und schließt damit auf A.2. Sei A ∈ L(R n ) und ε > 0. Da dann auch X\A ∈ L(R n ), existiert nach 1) eine offeneMenge U ⊂ R n mit X\A ⊂ U und λ n (U\(X\A)) = λ n (U ∩ A) < ε . Die Menge F := X\Uist abgeschlossen. Es gilt F ⊂ A undλ n (A\F ) = λ n (A\(X\U)) = λ n (A ∩ U) < ε.Es gilt auch die Umkehrung von Satz 11.10:Satz 11.11 (Charakterisierung von Lebesgue-Mengen). Sei A ⊂ R n eine nichtleereMenge. Gelte (mindestens) eine der beiden Bedingungen:1. Zu jedem ε > 0 existiert eine offene Menge U ⊃ A mit λ n (U\A) ≤ ε.2. Zu jedem ε > 0 existiert eine abgeschlossene Menge F ⊂ A mit λ n (A\F ) ≤ ε.Dann ist A Lebesgue-meßbar.Beweis:1. Es gelte 1). Wir wählen ε = 1 k mit k ∈ N. Seien U k offene Mengen mit A ⊂ U k undλ ∗ n(U k \A) ≤ 1 k . Wir setzen B := ⋂ ∞ U k . Dann gilt A ⊂ B und B ∈ B(R n ) ⊂ L(R n ) (Satzk=111.2). Für die Differenzmenge N := B\A gilt dann N ⊂ U k \A für alle k ∈ N. Folglich istλ ∗ n(N) ≤ λ ∗ n(U k \A) ≤ 1 kfür alle k und deshalb λ∗ n(N) = 0. Da λ ∗ n vollständig ist, erhaltenwir N ∈ A λ ∗ n= L(R n ). Somit ist A = B\N ∈ L(R n ).2. Es gelte 2). Wir wählen ε = 1 k mit k ∈ N. Dann existieren abgeschlossene Mengen F k ⊂ Amit λ ∗ n(A\F k ) < 1 ⋃k. Sei B :=∞ F k ∈ B(R n ) ⊂ L(R n ). Dann gilt A = B ∪ (A\B) undk=1A\B = A\ ( ⋃ ∞k=1 F k) ⊂ A\F k . Aus der Monotonie des äußeren Maßes folgt λ ∗ n(A\B) ≤ 1 kfür alle k ∈ N und somit λ ∗ n(A\B) = 0. Wiederum aus der Vollständigkeit des äußerenMaßes folgt A\B ∈ L(R n ). Wir erhalten damit A ∈ L(R n ).21