Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

2. {x ∈ X | f(x) ≥ a} ∈ A ∀a ∈ R3. {x ∈ X | f(x) > a} ∈ A ∀a ∈ R4. {x ∈ X | f(x) ≤ a} ∈ A ∀a ∈ R5. {x ∈ X | f(x) < a} ∈ A ∀a ∈ RFür Konvergenzzwecke dehnt man die Klasse der reellwertigen Funktionen aus, indem manim Wertebereich die Werte +∞ und −∞ zulässt. Bezeichne ¯R die Menge¯R := R ∪ {+∞} ∪ {−∞} := [−∞, +∞].Eine Abbildung f : X → ¯R heißt numerische Funktion. Mit den Symbolen ±∞ rechnet manwie naheliegend:(±∞) + (±∞) := ±∞a + (±∞) := (±∞) + a := ±∞ ∀a ∈ R{±∞ a ∈ (0, ∞]a · (±∞) := (±∞) · a :=∓∞ a ∈ [−∞, 0)Darüber hinaus treffen wir die folgenden formalen Festlegungen 2 :0 · (±∞) := (±∞) · 0 := 0(+∞) + (−∞) := (−∞) + (+∞) := 0Damit haben wir auf der Menge ¯R die Operationen + und · eingeführt, die die Addition unddie Multiplikation von reellen Zahlen auf ¯R fortsetzten. Beide Operationen sind kommutativ,aber auf ¯R nicht assoziativ. Das Distributivgesetz gilt ebenfalls nicht mehr.Als nächstes legen wir auf ¯R eine Topologie fest:Eine Teilmenge A ⊂ ¯R sei genau dann offen, wenn A ∩ R ⊂ R offen ist und wenn im Falle+∞ ∈ A (bzw. −∞ ∈ A) ein a ∈ R existiert mit (a, +∞] ⊂ A (bzw. [−∞, a) ⊂ A). Mitdieser Topologie erhält man für die Borelmengen auf ¯RB(¯R) := A σ (O(¯R)) = {B ∪ E | B ∈ B(R), E ⊂ {+∞, −∞}}Insbesondere gilt: B(¯R) R = B(R).Definition: Eine numerische Funktion f : X → ¯R heißt A-meßbar, falls f (A, B( ¯R))meßbar ist.Folgerung 3 gilt auch für numerische Funktionen. Mit Hilfe von Folgerung 3 beweist manfolgenden Satz (Übungsaufgaben 11.17 und 11.18):Satz 11.15 (Eigenschaften meßbarer Funktionen). Sei (X, A) ein meßbarer Raum.Dann gilt1. Sind f, h : X → ¯R A-meßbar, so sind auch die Funktionen f + h, f · h, max(f, h),min(f, h) und |f| A-meßbar.2 Dies wird nicht in allen Büchern zur Maß-und Integrationstheorie so gemacht, aber in einigen, z.B. imBuch von J. Elstrodt. Ich schließe mich dem an, da man dadurch in der Lage ist, auch numerische Funktionenzu addieren und zu multiplizieren28