Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

1∫4. Sei E := C([0, 1], R) und ‖f‖ 1 := |f(t)|dt . Dann ist (E, ‖ · ‖ 1 ) ein ∞-dimensionaler,0aber nicht vollständiger normierter VR. Um dies einzusehen betrachtet man die Folge⎧⎨ min(n, √t 1) falls t > 0f n (t) :=⎩ n falls t = 0und zeigt, dass (f n ) eine Cauchy-Folge in (E, ‖ · ‖ 1 ) ist, die nicht konvergiert (die Grenzfunktionist nicht stetig (Übungsaufgabe 11.35).Im folgenden werden wir nun jedem Maßraum (X, A, µ) eine Serie von Banachräumen zuordnen.Sei (X, A, µ) ein Maßraum und p eine positive reelle Zahl. K bezeichne den VektorraumR der reellen Zahlen, die erweiterten reellen Zahlen ¯R oder den Vektorraum C der komlexenZahlen. Wir betrachten die Menge der Funktionen{L p K (X, A, µ) := Lp := f : X → K | f A-meßbar und ∫ }|f| p dµ < ∞Xund nennen für f ∈ L p die Zahldie L p -Norm von f.⎛∫0 ≤ ‖f‖ p := ⎝X⎞|f| p dµ ⎠1p< ∞Es ist natürlich sofort zu sehen, dass ‖ · ‖ p keine Norm auf L p ist, denn es gilt ja ‖f‖ p = 0für Funktionen f : X → K, die nur fast überall Null sind. Wir werden deshalb den FunktionenraumL p durch Bildung von Äquivalenzklassen so modifizieren, dass ein Vektorraumentsteht, auf dem ‖ · ‖ p zumindest im Fall 1 ≤ p < +∞ tatsächlich eine Norm ist.Zunächst bemerken wir, dass für jede positive reelle Zahl p die Eigenschaft‖λ · f‖ p = |λ| · ‖f‖ pf ∈ L p , λ ∈ R bzw. Cgilt. Als nächstes wollen wir die Dreiecksungleichung für ‖ · ‖ p beweisen. Dazu beweisenwir die Hölder- und die Minkowski-Ungleichung für Maßräume, die die klassische Cauchy-Schwarzsche Ungleichung und die Dreiecksungleichung für Euklidische Vektorräume verallgemeinern.1Satz 11.42 (Hölder-Ungleichung). Seien 1 < p, q < +∞ mitp + 1 qund h ∈ L q gilt f · h ∈ L 1 und es ist= 1 . Für f ∈ Lp‖f · h‖ 1 ≤ ‖f‖ p · ‖h‖ q(Hölderungleichung)d.h.∫X( ∫|f · h| dµ ≤X) 1 ( ∫|f| p pdµ ·X) 1|h| q qdµBeweis: Wir zeigen zunächst die folgende Ungleichung für reelle Zahlen:a 1 p · b1q ≤1p · a + 1 q · b ∀a, b ∈ R+ (∗)Zum Beweis von (∗) betrachten wir die Funktion ϕ : (0, ∞) → R definiert durchϕ(t) := 1 p t + 1 q − t 1 p ..64