Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

das wesentliche Supremum von f. Beweisen Sie:1. Sei f ∈ ˜L ∞ und 0 < a < ‖f‖ ∞ . Dann gilt µ({x ∈ X | |f(x)| > a}) > 0.2. Zu jedem f ∈ ˜L ∞ existiert eine Menge A ∈ A mit µ(A) = 0, so dass ‖f‖ ∞ =sup |f(x)|x∈X\A3. Für f ∈ ˜L ∞ gilt: ‖f‖ ∞ = 0 genau dann, wenn f ∈ N := Menge der A-messbarenFunktionen, die µ-fast überall Null sind.Aufgabe 11.39*Sei (X, A, µ) ein Maßraum. Es sei L ∞ (X, A, µ) := ˜L ∞ (X, A, µ) |N und ‖[f]‖ ∞ := ‖f‖ ∞für eine Äquivalenzklasse [f] ∈ L ∞ . Beweisen Sie, dass (L ∞ (X, A, µ), ‖ · ‖ ∞ ) ein normierterVektorraum ist.Aufgabe 11.40*Beweisen Sie, dass (L ∞ (X, A, µ), ‖ · ‖ ∞ ) ein Banachraum ist.Aufgabe 11.41*Sei (X, A, µ) ein Maßraum mit µ(X) < ∞. Beweisen Sie:1. L ∞ ⊂ L p für alle 1 ≤ p ≤ ∞.2. Für f ∈ L ∞ gilt limp→∞ ‖f‖ p = ‖f‖ ∞ .3. Es sei 1 ≤ p 1 < p 2 < p 3 < ... eine monoton wachsende Folge reeller Zahlen, die gegen∞ konvergiert. f : X −→ K sei eine A-meßbare Funktion. Dann gilt: Ist f ∈ L p kfürjedes p k und sup ‖f‖ pk < ∞ , dann ist f ∈ L ∞ .k87