Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

11.8 Anhang: Das Banach-Tarski-Paradox(Ausarbeitung von T. Neukirchner)Nicht-meßbare Mengen verdeutlichen auf eindrucksvolle Weise, dass es keinen additiven- geschweige denn σ-additiven Volumenbegriff auf der Potenzmenge P(R 3 ) des R 3 gebenkann, der zusätzlich invariant unter der Gruppe E 3 der Euklidischen Bewegungen des R 3 ist:Theorem[Banach-Tarski (1924)] Es sei p ≥ 3 und A, B ⊂ R p seien beschränkte Mengenmit nicht-leerem Inneren. Dann gibt es Mengen A 1 , . . . , A n ∈ P(R p ) und Bewegungenϕ 1 , . . . , ϕ n ∈ E p mitn⊔n⊔A = A i , B = ϕ i (A i )i=1i=1Setzt man z.B. A = Bo 3 = { x ∈ R ∣ 3 ‖x − o‖ ≤ 1 } und B = Bo 3 1⊔ Bo 3 2(o 1 , o 2 so gewählt,dass die Vereinigung disjunkt ist), so besagt der obige Satz, dass die Einheitskugel des R 3durch Zerlegen in endlich viele Teile und Euklidische Bewegungen verdoppelt werden kann.Für diese Version des auch als “Banach-Tarski-Paradox” bekannten Satzes zitieren wir imFolgenden einen Beweis aus [Deu93].Bemerkung: Einen analogen Satz kann es im R 1 und R 2 nicht geben, da für dieseDimensionen das Inhaltsproblem lösbar ist (siehe [Els99, S.4]).Definition Sei S ⊂ E p eine Untergruppe der Gruppe der Euklidischen Bewegungen des R p .A, B ∈ P(R p ) heißen S-zerlegungsgleich, falls es Mengen A 1 , . . . , A n ⊂ A und Bewegungenϕ 1 , . . . , ϕ n ∈ S gibt mitn⊔n⊔A = A i , B = ϕ i (A i )i=1Offensichtlich ist S-Zerlegungsgleichheit eine Äquivalenzrelation auf P(R p ) und wir notierenA ∼ S B.i=1Zur Vorbereitung einige kleine Lemmata:Lemma 11.8.1. Sei S 1 ⊂ C die Einheitskreislinie. Dann gilt: S 1 ∼ SO(2) S 1 \ {1}.Beweis: Die Idee des Beweises ist für das Folgende sehr instruktiv. Sie besteht darin, einenHalbgruppen-Homomorphismus Ψ : N 0 → SO(2) zu betrachten 4 , so dass die induzierteWirkung auf S 1 frei ist 5 . Ein beliebiger Orbit Ψ(N 0 )x ⊂ S 1 steht also in Bijektion zu N 0und er ist invariant unter Ψ(N 0 ) ⊂ SO(2). Damit gilt dann:S 1 = O ⊔ K mit O = Ψ(N 0 )(1), K = S 1 \ OS 1 \ {1} = Ψ(1)(O) ⊔ KEs bleibt also die Abbildung Ψ zu erraten: Ψ(m) = e im (wirkt durch Multiplikation in Cals Element in SO(2)) leistet das gewünschte, denn (e im = 1, m ∈ N 0 ) ⇔ m = 0.4 d.h. Ψ(m + n) = Ψ(m) · Ψ(n)5 d.h. Ψ(m)x = x für ein x ∈ S 1 impliziert m = 071