Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Dann istT (A) = T (A ∩ ⋃ jQ j ) = T ( ⋃ j(A ∩ Q j )) = ⋃ jT (A ∩ Q j ).Folglich genügt es zu zeigen, dass T (A ∩ Q j ) eine Lebesguesche Nullmenge ist. Da A eineLebesguesche Nullmenge ist, existieren nach dem Kriterium für Lebesguesche Nullmengenaus Folgerung 1 zu jedem ε > 0 abzählbar viele Würfel W m , m = 1, 2, 3 . . ., so dass∞⋃A ⊂ intW mm=1und∞∑vol (W m ) < ε .m=1Sei 2r m die Seitenlänge von W m und ξ m das Zentrum von W m . Für x ∈ A ∩ Q j ∩ int(W m )gilt‖x − ξ m ‖ ∞ := max {|x i − ξ mi | | i = 1, . . . , n} < r mDa T eine C 1 -Abbildung ist, ist T | clQjeine Konstante M j ∈ R + mitLipschitzstetig (siehe Analysis II). Somit existiert‖T x − T ξ m ‖ ∞ ≤ M j ‖x − ξ m ‖ ∞ < M j · r m ,d.h. T x liegt im Inneren eines Würfels Ŵm mit dem Zentrum T ξ m und der Kantenlänge2 · M j · r m .Dann giltT (A ∩ Q j ) =∞∑vol(Ŵm) =m=1∞⋃∞⋃T (A ∩ Q j ∩ intW m ) ⊂ intŴm undm=1∞∑(2r m · M j ) n ≤m=1m=1m=1∞∑vol(W m ) · (M j ) n ≤ ε · (M j ) nDann ist gemäß dem Nullstellen-Kriterium T (A ∩ Q j ) eine Lebesguesche Nullmenge.Satz 11.13. 1. Sei T : U ⊂ R n → R n eine abgeschlossene C 1 -Abbildung. Dann gilt: IstA ⊂ U Lebesgue-meßbar, so ist T (A) ebenfalls Lebesgue-meßbar.2. Sei L : R n → R n eine lineare Abbildung mit der Determinante DetL ≠ 0. Ist A ∈L(R n ), so ist L(A) ∈ L(R n ) und für die Maße gilt:λ n (L(A)) = |DetL| · λ n (A)Beweis: 1. Nach Folgerung 1 ist die Menge A genau dann Lebesgue-meßbar, wenn sie eineDarstellung der Form A = ( ∞⋃ )F k ∪ N besitzt, wobei Fk ⊂ R n abgeschlossene Mengenk=1sind und N eine Lebesguesche Nullmenge ist. Da die Abbildung T abgeschlossen ist, bildetsie die abgeschlossenen Mengen F k in abgeschlossenen Mengen T (F k ) ab. Nach Satz 11.12ist T (N) eine Nullmenge. Nach Folgerung 1 istebenfalls eine Lebesgue-Menge.( ⋃ ∞T (A) =k=1)T (F k ) ∪ T (N)2. Jede lineare Abbildung L : R n → R n mit DetL ≠ 0 ist ein Isomorphismus, somit einC 1 -Diffeomorphismus und insbesondere abgeschlossen. Also ist mit A ∈ L(R n ) auch L(A) ∈24