Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Aufgabe 11.6Sei µ ∗ : P(R) → [0, ∞] die folgende Mengenfunktion:⎧⎪⎨ 0 : B = ∅µ ∗ (B) := 1 : B beschränkt⎪⎩∞ : B unbeschränkta) Beweisen Sie, daß µ ∗ ein äußeres Maß, aber kein Maß ist.b) Bestimmen Sie das Mengensystem A µ ∗ aller µ ∗ -meßbaren Mengen.Aufgabe 11.7Sei µ ∗ : P(X) → [0, ∞] ein äußeres Maß. Beweisen Sie:a) A ⊂ X und µ ∗ (A) = 0 ⇒ A ist µ ∗ -meßbar.b) B ⊂ A ⊂ X und µ ∗ (A) = 0 ⇒ B ist µ ∗ -meßbarAufgabe 11.8 (Reguläre äußere Maße)Ein äußeres Maß µ ∗ : P(X) → [0, ∞] heißt regulär, falls für jedes E ⊂ X eine µ ∗ -meßbareMenge A ⊂ X existiert, so daßE ⊂ A und µ ∗ (E) = µ ∗ (A). (∗)Sei nun (R, µ) ein Ring über X mit σ-Inhalt µ und sei µ ∗ das nach Satz 6 der Vorlesungdaraus konstruierte äußere Maß auf P(X) sowie A µ ∗ die σ-Algebra der µ ∗ -messbaren Mengen.Zeigen Sie: Zu jedem E ⊂ X existiert eine Menge A ∈ A σ (R), die (∗) erfüllt. Insbesondereist also µ ∗ regulär.Aufgabe 11.9 (Vollständigkeit)Sei (X, A, µ) ein Maßraum und{A µ := E ⊂ X ∣ }∃ A ∈ A, ∃ N ⊂ N 0 ∈ A mit µ(N 0 ) = 0, so daß: E = A ∪ N(∗)Zeigen Sie:a) Die Abbildung µ : A µ → [0, ∞], µ(E) := µ(A), mit E = A ∪ N wie in (∗) istwohldefiniert.b) E ∈ A µ ⇐⇒ ∃ E in , E ex ∈ A mit E in ⊂ E ⊂ E ex und µ(E ex \ E in ) = 0.Aufgabe 11.10 (metrisches äußeres Maß)Es sei (X, d) ein metrischer Raum und µ ∗ : P(X) → [0, ∞] ein äußeres Maß. Dann heißt µ ∗metrisches äußeres Maß, wenn für alle nicht-leeren Mengen A, B ⊂ X für deren metrischenAbstand d(A, B) := inf{d(a, b)|a ∈ A, b ∈ B} > 0 gilt,µ ∗ (A ∪ B) = µ ∗ (A) + µ ∗ (B)80