Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Satz 11.45. Sei (X, A, µ) ein Maßraum mit µ(X) < +∞. Dann gilt für 1 ≤ p < rL r (X, A, µ) ⊂ L p (X, A, µ) .Beweis: Sei f ∈ L r . Da µ(X) < ∞ gilt, liegt die Funktion, die konstant den Wert 1annimmt, für jedes s ≥ 1 im Raum L s . Aus der Hölderungleichung für die Zahl r p > 1 folgtalso∫X|f(x)| p · 1 dµ(x) ≤Damit ist f ∈ L p (X, A, µ).( ∫ X) p ( ∫(|f(x)| p rdµ(x) ·X‖f‖ p ≤ ‖f‖ r · µ(X) r−pr·p < +∞ .) r−pr1 dµ(x),Die Aussage von Satz 11.45 gilt im allgemeinen nicht, wenn µ(X) = +∞. Sei zum BeispielX = [1, ∞) und µ das Lebesgue-Maß. Die Funktion f, definiert durch f(x) = 1 x, liegt inL 2 ([1, ∞)) aber nicht in L 1 ([1, ∞)) .Abschließend betrachten wir Maßräume, auf denen zusätzlich eine Metrik gegeben ist undgeben ein Kriterium dafür an, dass die stetigen Funktionen dicht in den L p -Funktionenliegen.Satz 11.46. Sei (X, A, µ) ein Maßraum, d eine Metrik auf X und B(X) die σ-Algebra derBorel-Mengen von (X, d). Es gelte1. B(X) ⊂ A und2. Zu jedem ε > 0 und A ∈ A existiert eine abgeschlossene Menge F ε ⊂ A so dassµ(A \ F ε ) < ε.Dann gilt()cl C(X) ∩ L p (X, A, µ) = L p (X, A, µ) ,d.h. die stetigen L p -Funktionen liegen dicht im Raum der L p -Funktionen.Für das Lebesgue-Maß sind die Voraussetzungen von Satz 11.46 erfüllt und wir erhaltenFolgerung 12: Sei A ⊂ R n eine Lebesgue-meßbare Menge. Dann gilt()cl C(A) ∩ L p (A, L(A), λ n ) = L p (A, L(A), λ n ),d.h. die stetigen, Lebesgueschen L p -Funktionen liegen dicht in der Menge aller LebesgueschenL p -Funktionen.Beweis von Satz 11.46: Wir betrachten die folgende Menge einfacher FunktionenF := {χ A | A ⊂ X meßbar und µ(A) < ∞} .Mit Hilfe von Satz 11.16 (jede nichtnegative, A-meßbare Funktion lässt sich durch einemonotone Folge einfacher Funktionen approximieren) zeigt man, dass die lineare Hülle vonF{ ∑ n }Lin(F) := λ i χ Ai | χ Ai ∈ F , λ i ∈ K = R (C)i=169