Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Dies ist die Menge von Äquivalenzklassen gezüglich folgender Äquivalenzrelation ∼ auf derMenge L p f ∼ h ⇐⇒ f = h µ-fast überall .Die Vektorraumstruktur und die Norm auf L p definiert man vertreterweise (im Falle K = ¯Rfür die Vertreter mit endlichen Werten):[f] + [h] := [f + h] , λ · [f] = [λ · f] , ‖[f]‖ p := ‖f‖ pSatz 11.44. Sei (X, A, µ) ein Maßraum und 1 ≤ p < ∞. Dann ist (L p (X, A, µ), ‖ · ‖ p ) einBanachraum.Dieser Banachraum heißt Banachraum der L p -Funktionen oder der p-fach integrierbarenFunktionen auf dem Maßraum (X, A, µ). Man schreibt auch kurz f ∈ L p und verstehtdarunter die von f erzeugte Klasse [f] ∈ L p L. Die Konvergenz f pn → f bzgl. ‖ · ‖ p heißtKonvergenz im p-Mittel. Die Funktionen f ∈ L 2 nennt man quadratisch integrierbar und dieKonvergenz in L 2 heißt Konvergenz im quadratischen Mittel.Beweis von Satz 11.44: Sei (f n ) eine Cauchy-Folge aus L p (X, A, µ). Dann gibt es zu jedernatürlichen Zahl k ∈ N einen Index n k , so dass‖f n − f m ‖ p ≤ 1 2 k ∀n, m ≥ n k .Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass n 1 < n 2 < n 3 < . . .. Wirbetrachten nun die folgende Funktionenfolge (g k )g k := |f n1 | +k∑|f nj+1 − f nj | , k ∈ N .j=1Die Funktionen g k : X → [0, ∞] sind A-meßbar, nichtnegativ und es gilt g k ≤ g k+1 . Aus derMinkowski-Ungleichung folgt‖g k ‖ p = ‖ |f n1 | +≤ ‖f n1 ‖ p +≤ ‖f n1 ‖ p +k∑|f nj+1 − f nj | ‖ pj=1k∑‖f nj+1 − f nj ‖ pj=1k∑j=112 j ≤ ‖f n1 ‖ p +∞∑j=112 j ≤ ‖f n1 ‖ p + 1 < ∞ .Aus dem Satz über die monotone Konvergenz und der Existenz der Majorante folgt∫ ∫lim ‖g k‖ p p = lim g p k dµ = ( )limh→∞ k→∞k→∞ gp k dµ < ∞ .Nach Satz 11.27 folgt daraus, dass die Funktion limk→∞ gp kA ⊂ X eine Nullmenge, so dassx ∈ X \ A. Nach Definition von g k (x) giltXXµ-fast überall endlich ist. Sei nunlim g k(x) < ∞ für alle x ∈ X \ A gilt. Wir fixieren eink→∞lim g k(x) = |f n1 (x)| +k→∞∞∑|f nj+1 (x) − f nj (x)| .j=167