Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Beispiel 1: Sei A ⊂ R n Lebesgue-meßbar und f : A → [0, ∞] Lebesgue-integrierbar. Wirbezeichnen mit U f die Menge U f := {(x, y) ∈ R n+1 | x ∈ A, y ∈ [0, f(x)]}R0000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111fU00000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111f000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111} {{ }AR nDann gilt:∫λ n (U f ) = f(x)dλ n (x)ADies ist die Verallgemeinerung der entsprechenden Formel für das Riemann-Integral. Diesfolgt da⎧⎨ ∅ falls x ∉ A(U f ) x = {t ∈ R | (x, t) ∈ U f } =⎩ [0, f(x)] falls x ∈ Aund folglich∫∫∫λ n (U f ) = λ 1 ((U f ) x ) dλ n (x) = λ 1 ([0, f(x)]) dλ n (x) = f(x) dλ n (x)R n AABeispiel 2: Das Volumen von Rotationskörpern im R 3 .Sei f : [a, b] → R 1 Lebesgue-integrierbar, f ≥ 0. Wir betrachten den Graphen der Funktionx = f(z) in der (x, z)-Ebene und rotieren diese Kurve um die z-AchsezGraph(f)56