Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Satz 11.23 (Satz von Beppo Levi über monotone Konvergenz). Sei (X, A, µ) einMaßraum, (f n : X → [0, ∞]) eine monoton wachsende Folge A-meßbarer, nichtnegativerFunktionen und f : X → [0, ∞] die Grenzfunktion f(x) := limn→∞ f n(x), x ∈ X . Dann giltlimn→∞X∫ ∫f n dµ = fdµ.Beweis: Nach Satz 11.17 ist f : X → [0, ∞] meßbar. Da f n ≤ f n+1 ≤ f folgt aus Satz 11.22∫ ∫∫f n dµ ≤ f n+1 dµ ≤ fdµXXXXund somitlim∫n→∞X∫f n dµ ≤Xfdµ (11.5)Es bleibt, die Ungleichung in der anderen Richtung zu zeigen. Sei ϕ eine einfache Funktion∑mit ϕ ≤ f. Dann ist ϕ = m c i χ Ai . Sei λ ∈ (0, 1) fixiert und E n ⊂ X die Mengei=1Da f n ↑ f und λϕ < f, giltE n := {x ∈ X | λϕ(x) ≤ f n (x)} ∈ A.X =∞⋃E n und E n ⊂ E n+1 .n=1Die Mengen A i ⊂ X sind meßbar und erfüllen A i = ⋃ ∞n=1 (A i ∩ E n ) . Aus der Stetigkeitdes Maßes von unten folgt µ(A i ) = limn→∞ µ(A i ∩ E n ) . Nach Definition ist∫λXϕdµ = λm∑c i µ(A i ) = limi=1n→∞i=1m∑λc i µ(A i ∩ E n )∫ m∑∫= lim λc i χ Ai ∩En→∞ndµ = lim λϕχ En dµ} {{ } n→∞Xi=1χ Ai ·χ E Xn∫= lim λϕdµ.n→∞E nNach Definition von E n gilt λϕ ≤ f n auf E n . Somit folgt∫∫∫λ ϕdµ ≤ lim f n dµ ≤ limn→∞XE nn→∞Xf n dµ.Bilden wir den Grenzwert λ → 1 und das Supremum über alle einfachen Funktionen ϕ ≤ f,so erhalten wir∫∫fdµ ≤ lim f n dµ. (11.6)n→∞XXAus (11.5) und (11.6) folgt die Behauptung.36