Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

⋃Setzt man in (11.4) E = ∞ A i , so folgti=1∞⋃µ ∗ (i=1i=1A i ) ≥∞∑µ ∗ (A i )i=1Da µ ∗ σ-halbadditiv ist, gilt andererseits∞⋃ ∞∑µ ∗ ( A i ) ≤ µ ∗ (A i )Somit ist µ ∗ ein Maß auf A µ ∗.4. Die Vollständigkeit von µ ∗ folgt nach obiger Bemerkung (Übungsaufgabe 11.7).i=1Wie erhält man äußere Maße? Wir geben hier eine Konstruktion an, die von einem Ring mitInhalt ausgeht. Andere Konstruktionen für metrische Räume (X, d) werden in der Übungbehandelt (metrische äußere Maße, Hausdorff-Maße; man findet sie auch im Buch von J.Elstrodt 1 ).Satz 11.6. Sei µ : R → [0, ∞] ein Inhalt auf einem Ring R über X. Wir definierenµ ∗ : P(X) → [0, ∞] durch⎧ {⎨ ∑ ∞ ⋃µ ∗ inf µ(A n ) ∣ wobei E ⊂ ∞ }A n , und A n ∈ R ∀n(E) :=n=1n=1⎩+∞, falls E nicht in einer abzählbaren Vereinigung von Mengen aus R liegtDann gilt:1. µ ∗ ist ein äußeres Maß auf X (das von µ erzeugte äußere Maß).2. R ⊂ A µ ∗.3. Ist µ ein σ-Inhalt, so gilt µ = µ ∗ | R .Man kann also jeden Prämaßraum (X, R, µ) zu einem vollständigen Maßraum (X, A µ ∗, µ ∗ )fortsetzen, wobei µ ∗ das von µ erzeugte äußere Maß ist. Ein Tripel (X, R, µ) nennt manPrämaßraum, wenn µ ein σ-Inhalt auf dem Ring R über X ist.Beweis:1. µ ∗ ist ein äußeres Maß:Da ∅ ∈ R und µ(∅) = 0, folgt µ ∗ (∅) = 0 . Wir zeigen als nächstes die Monotonie vonµ ∗ . Sei dazu A ⊂ B. Ist µ ∗ (B) = ∞, so gilt die Behauptung. Wir setzen deshalb voraus,dass µ ∗ (B) < ∞. Sei ε > 0. Nach Definition des Infimums existieren Ringelemente⋃A 1 , A 2 , A 3 , . . . , mit B ⊂ ∞ A n , so dassDa A ⊂ B ⊂ ∞ ⋃n=1n=1∞∑µ(A n ) < µ ∗ (B) + ε .n=1A n , folgt µ ∗ ∑(A) ≤ ∞ µ(A n ) < µ ∗ (B) + ε. Mit ε → 0 folgt die Monotonie.n=1Es bleibt die σ-Halbadditivität zu beweisen. Sei (C n ) ∞ n=1 eine Folge von Teilmengen von X.Zu zeigen ist, dass∞⋃∞∑µ ∗ ( C n ) ≤ µ ∗ (C n ).n=1n=11 J. Elstrodt: Maß-und Integrationstheorie, Springer 199814