Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Aufgabe 11.21Sei (X, A, µ) ein Maßraum und f ∈ L(X, A, µ). Dann ist f µ-fast überall endlich, d.h.µ ( {f = ∞} ) = 0.Aufgabe 11.22Sei (X, A, µ) ein Maßraum und f ∈ L(X, A, µ). Weiterhin sei h : X → R A-messbar.a) Ist f = h µ-fast überall. Dann gilt:h ∈ L(X, A, µ)und∫∫f dµ =h dµXXb) Ist |h| ≤ f, dann ist h ∈ L(X, A, µ).Aufgabe 11.23 (Integration bezüglich eines Bildmaßes)Sei (X, A, µ) ein Maßraum, (Y, B) ein messbarer Raum und T : X → Y (A, B)-messbar. DieAbbildungT ∗ µ := µ ◦ T −1 : B −→ [0, ∞]heißt Bildmaß. Zeigen Sie:a) T ∗ µ ist ein Maß auf B.b) Ist f : Y → R (T ∗ µ)-integrierbar, so ist f ◦ T : X → R µ-integrierbar und∫∫f d(T ∗ µ) = f ◦ T dµXXAufgabe 11.24 (Absolute Stetigkeit des Integrals)Sei f : [a, b] → R eine Funktion.• f heißt absolut stetig, falls zu jedem ɛ > 0 ein δ > 0 existiert mitn∑|f(b k ) − f(a k )| < ɛk=1( ⋃n)für alle a ≤ a 1 < b 1 ≤ a 2 < b 2 ≤ . . . ≤ a n < b n ≤ b (n ∈ N) mit λ 1 k=1 (a k, b k ) =∑ nk=1 (b k − a k ) < δ.• f heißt von beschränkter Variation über [a, b], falls Va b (f) < ∞, wobei{ n}∑Va b (f) := sup |f(x k ) − f(x k−1 )| : a = x 0 < x 1 < . . . < x n = b, n ∈ NZeigen Sie:k=1die sogenannte Totalvariation von f über [a, b] ist.a) Sei (X, A, µ) ein Maßraum und f ∈ L(X, A, µ). Dann gilt: ∀ ɛ > 0 ∃ δ > 0 mit folgenderEigenschaft:∫∀ A ∈ A mit µ(A) < δ gilt: ∣ fdµ ∣ < ɛInsbesondere ist also für alle f ∈ L([a, b], B([a, b]), λ 1 ) die Funktion F (x) := ∫absolut stetig.X[a,x]f dλ 183