Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Somit ist die Reihef nj (x) +∞∑(f nj+1 (x) − f nj (x)) (∗)j=1im Vektorraum K = R bzw. K = C absolut konvergent, also auch konvergent. Die (k − 1).-Partialsumme der Reihe (∗) ist f nk (x). Folglich existiert der Grenzwert lim f n k(x). Wirk→∞setzen nun{limf(x) :=f n k(x) x ∈ X \ Ak→∞0 x ∈ ADie Funktion f| X\A ist als Grenzfunktion A-meßbarer Funktionen ebenfalls A-meßbar. f| Aist konstant, also A-meßbar. Somit ist f A-meßbar (Sätze 11.14 und 11.17). Wir zeigennun, dassf n −→ f in L p (X, A, µ) .Sei ε > 0. Dann existiert ein Index n ε so dass ‖f n − f m ‖ m < ε für alle n, m ≥ n ε . Aus demLemma von Fatoo (Satz 11.24) folgt∫‖f − f n ‖ p p = | lim f n k(x) − f n (x)| p dµ(x)k→∞für alle n > n ε . Da=X∫X≤ lim infk→∞= lim infk→∞ist f ∈ L p (X, A, µ) und f n → f in L p .lim |f n k(x) − f n (x)| p dµ(x)k→∞∫X|f nk (x) − f n (x)| p dµ(x)‖f n k− f n ‖ p p < ε‖f‖ p ≤ ‖f − f n ‖ p + ‖f n ‖ p < ε + ‖f n ‖ p < ∞ ,Bemerkung: Im Satz 11.44 haben wir uns auf den Fall 1 ≤ p < ∞ beschränkt. Für0 < p < 1 ist ‖ · ‖ p keine Norm, denn die Dreiecksungleichung gilt nur für p ≥ 1. Für0 < p < 1 kann man auf L p aber eine Metrik durchd p (f, h) := ‖f − h‖ p pf, h ∈ L pdefinieren, deren Vollständigkeit man analog beweist. Man kann auch p = +∞ zulassen.Dazu betrachtet man den Raum der wesentlich beschränkten Funktionen L ∞ . Die Definitiondes Raumes (L ∞ , ‖ · ‖ ∞ ) und seine Eigenschaften findet man in den Übungsaufgaben11.38*-11.41*.Aus dem Beweis von Satz 11.44 erhält man auch die folgende Beziehung zwischen derKonvergenz im p-Mittel und der punktweisen Konvergenz:Folgerung 11: Sei (f n ) eine Folge von L p -Funktionen, die im p.- Mittel gegen die Funktionf ∈ L p = L p (X, A, µ) konvergiert. Dann existiert eine Teilfolge (f nk ) von (f n ) die µ-fastüberall punktweise gegen f konvergiert.68