Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Da f auf der Menge [a, b] \ (N ∪ ⋃ ∞n=1 B P n) stetig und N ∪ ⋃ ∞n=1 B P neine Nullmengeist, konvergiert die Funktionenfolge ( )ϕ Pn λ1 -fast überall gegen f. Dann folgt aus dem Satzüber die majorisierte Konvergenz, dass∫∫lim ϕ Pn dλ 1 = f dλ 1 .n→∞[a,b]Somit stimmt das Riemann-Integral mit dem Lebesgue-Integral überein.[a,b]Satz 11.32. Sei I ⊂ R ein Intervall und die Funktion f : I → R Riemann-integrierbarüber jedem kompakten Teilintervall von I. f ist genau dann Lebesgue-integrierbar über I,wenn |f| uneigentlich Riemann-integrierbar über I ist.Das uneigentliche Riemann-Integral von f stimmt in diesem Fall mit dem Lebesgue-Integralvon f über I überein.Beweis: Sei I = (a, b) ⊆ R und a < a n < b n < b , a n ↓ a, b n ↑ b. Nach Satz 11.31 istf = lim f · χ [an→∞ n ,b n ] Lebesgue-meßbar und nach dem Satz über die monotone Konvergenzgilt∫b n∫∫lim R − |f(x)|dx = lim |f| · χ [an ,bn→∞ n→∞n ]dλ 1 = |f|dλ 1 (∗)a nIIst nun |f| uneigentlich Riemann-integrierbar, so ist die linke Seite von (∗) endlich, also ist |f|und damit auch f Lebesgue-integrierbar über I. Ist andererseits f Lebesgue-integrierbar, soist die rechte Seite von (∗) endlich, d.h. |f| uneigentlich Riemann-integrierbar über I. Ist |f|uneigentlich Riemann-integrierbar, so liefert Satz 11.31 und der Satz über die majorisierteKonvergenzI∫ bR −af(x)dx = lim∫ b nn→∞a nIst I halboffen, schließt man analog.f(x)dx = lim∫n→∞I∫f · χ [an,b n]dλ 1 =Ifdλ 1 .Beispiele:1. Die Funktion f : (0, ∞) → Rf(x) := sin xxist uneigentlich Riemann-integrierbar, aber nicht Lebesgue-integrierbar.2. Für jedes x > 0 ist die Funktionh : (0, ∞) → R , h(t) := e −t t x−1uneigentlich Riemann- und Lebesgue-integrierbar. Das IntegralΓ(x) :=∫ ∞0e −t t x−1 dxist die Gamma-Funktion, deren Eigenschaften wir in Kapitel 7 von Analysis II besprochenhaben.44