Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

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13. Wie integriert man über Produkträumen bzw. Vervollständigungen von Produkträumen(Fubini)? Erläutern Sie Anwendungen des Satzes von Fubini für die Berechnung vonLebesgue-Integralen im R n und die Berechnung des Lebesgue-Maßes einer Teilmengedes R n .14. Formulieren Sie die Transformationsformel für Lebesgue-Integrale im R n . ErläuternSie die Beweisidee. Nennen Sie typische Anwendungen.15. Definieren Sie den Raum der L p -Funktionen eines Maßraumes, 1 ≤ p < ∞. NennenSie die wichtigsten Eigenschaften der L p -Räume (Banachraum, Dichtheit stetigerFunktionen, Verhalten bei verschiedenem p).11.10 Weitere Literatur zur VorlesungDie folgenden Bücher sind für das Selbststudium für den Einführungskurs zur Maß- undIntegrationstheorie geeignet. Besonders zu empfehlen ist das Buch von J. Elstrodt, das vieleinteressante Anwendungen und weiterführende Kommentare enthält und die auch historischeEntwicklung der Maß- und Integrationstheorie sehr aufschlußreich erläutert.• J. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie, Springer 1998• H. Bauer: Maß- und Integrationstheorie, de Gruyter 1990• E. Behrends: Maß- und Integrationstheorie, Springer 1987• P. Günther: Grundkurs Analysis III, Kap. 10, Teubner Verlag Leipzig 1974• Th. Bröcker: Analysis II, Kap. 3+4, Wissenschaftsverlag Mannheim 1992• Halmos: Measure theory, Springer 1976• Hewitt/Stromberg: Real and abstract analysis, Springer 196578
11.11 Übungsaufgaben zu Kapitel 11Aufgabe 11.1Sei f : X → Y eine Abbildung, A eine σ-Algebra auf X und L eine σ-Algebra auf Y . ZeigenSie:1) f ∗ A := { B ⊂ Y | f −1 (B) ∈ A } ist eine σ-Algebra auf Y .2) f −1 L := { f −1 (B) | B ∈ L } ist eine σ-Algebra auf X.Aufgabe 11.2 (Konstruktion neuer Maße)A sei eine σ-Algebra auf X. Zeigen Sie1) Ist µ ein Maß auf A und B ∈ A eine Menge mit ∞ > µ(B) ≠ 0. Dann istµ B : A → [0, ∞], µ B (A) :=µ(A ∩ B)µ(B)ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf A (bedingte Wahrscheinlichkeit).2) Seien a n ∈ R + ∑und µ n Maße auf A (n ∈ N). Dann ist auch µ := ∞ a n µ n ein Maß aufA.3) Sei µ n : A → [0, ∞] (n ∈ N) eine monotom wachsende Folge von Maßen auf A, daßheißt µ n (A) ≤ µ n+1 (A), ∀ A ∈ A. Dann ist µ := limn→∞ µ n ebenfalls ein Maß auf A.n=1Aufgabe 11.3Sei R n die Menge der Figuren des R n . Die Abbildung ν n : R n → [0, ∞] sei definiert durch⎧⎪⎨ 0 falls A = ∅ν n (A) := m∑ ⎪⎩ vol(W i )⋃falls A = m W i , wobei W i disjunkte halboffene Quader (1 ≤ i ≤ m)i=1i=1Beweisen Sie, daß R n ein Ring und ν n ein σ-endlicher σ-Inhalt auf R n ist.Aufgabe 11.4 (Borelmengen)Sei B(R n ) := A σ (O(R n )) die σ-Algebra der Borelmengen des R n . Bezeiche F(R n ) die abgeschlossenenMengen der R n , K(R n ) die kompakten Mengen des R n und E n die Menge derhalboffenen Quader im R n . Beweisen Sie, daßB(R n ) = A σ (F(R n )) = A σ (K(R n )) = A σ (E n )Aufgabe 11.5Sei µ : B(R n ) → {0, 1} ein Maß auf den Borelmengen des R n mit Werten in {0, 1} undµ(R n ) = 1. Beweisen Sie, daß µ gleich dem Dirac-Maß eines Punktes x ∈ R n ist.79
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11.2 σ-Algebren und Maße11.2.1 De
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Folglich ist A ∪ B ∈ A µ ∗.I
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OBdA können wir voraussetzen, dass
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Es genügt also zu zeigen, dass σ(
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Dann istT (A) = T (A ∩ ⋃ jQ j )
Seite 28 und 29: 2. {x ∈ X | f(x) ≥ a} ∈ A ∀
Seite 30 und 31: Nach Definition gilt f n ≤ f. Die
Seite 34 und 35: 11.4 Integration meßbarer Funktion
Seite 36 und 37: Satz 11.23 (Satz von Beppo Levi üb
Seite 38 und 39: Definition: Sei (X, A, µ) ein Maß
Seite 40 und 41: Beweis:1. Da |f| = f + + f − , gi
Seite 42 und 43: ( ∫ )konvergiert die Folge |f|dµ
Seite 44 und 45: Da f auf der Menge [a, b] \ (N ∪
Seite 46 und 47: Satz 11.33.1. Jede σ-Algebra ist m
Seite 48 und 49: Also ist die Abbildung x ∈ X ↦
Seite 50 und 51: Wir zeigen, dass λ σ-additiv ist:
Seite 52 und 53: wachsende Folge von einfachen Funkt
Seite 54 und 55: Satz 11.38. Seien (X, A, µ) und (Y
Seite 56 und 57: Beispiel 1: Sei A ⊂ R n Lebesgue-
Seite 58 und 59: 11.6 Die Transformationsformel für
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Seite 62 und 63: x 3ϕ 2x 2ϕ 1x 1Offensichtlich gil
Seite 64 und 65: 1∫4. Sei E := C([0, 1], R) und
Seite 66 und 67: Beweis: Für p = 1 ist die Behauptu
Seite 68 und 69: Somit ist die Reihef nj (x) +∞∑
Seite 70 und 71: dicht im Raum der L p -Funktionen L
Seite 72 und 73: Sei nun B 2 = {x ∈ C | ‖x‖ <
Seite 74 und 75: erhält man:Mat ( g(ɛ 1 . . . ɛ k
Seite 77: 11.9 Wiederholungsfragen zur Prüfu
Seite 81 und 82: erfüllt ist. Bezeichne mit B(X) di
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Seite 85 und 86: Aufgabe 11.29Begründen Sie, warum
Seite 87: das wesentliche Supremum von f. Bew
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