Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Bemerkung: Man kann die Integration auch ausdehnen auf Funktionen f : X → E mitWerten in einem endlich-dimensionalen reellen Vektoraum E (z.B. E = C). Dazu fixiert man∑eine Basis (e 1 , . . . , e n ) in E. Für die Funktion f = n f i e i setzt man∫Xfdµ :=n∑i=1( ∫ Xi=1)f i dµ e i .11.4.2 Vergleich zwischen Riemann- und Lebesgue-IntegralSatz 11.31. Sei f : [a, b] → R eine beschränkte Riemann-integrierbare Funktion. Dann istf Lebesgue-meßbar und Lebesgue-integrierbar und das Riemann-Integral von f über [a, b]stimmt mit dem Lebesgue-Integral von f über [a, b] überein.Beweis: Wir bezeichnen mit N ⊂ [a, b] die Menge der Unstetigkeitsstellen von f und mito(f, x 0 ) die Oszillation von f in x 0o(f, x 0 ) := limδ→0 + (sup{f(x) | |x − x0 | < δ} − inf{f(x) | |x − x 0 | < δ} ) .Wir wissen aus Kapitel 7 von Analysis II, dass eine beschränkte Funktion f : [a, b] → R genaudann Riemann-integrierbar ist, wenn die Menge ihrer Unstetigkeitsstellen eine LebesguescheNullmenge ist. Die Unstetigkeitsstellen kann man durch positive Oszillation charakterisieren.x 0 ∈ [a, b] ist genau dann eine Unstetigkeitsstelle von f, wenn die Oszillation o(f, x 0 ) vonf im Punkt x 0 positiv ist. Folglich gilt:∞⋃{N = N n , wobei N n = x ∈ [a, b] | o(f, x) ≥ 1 }.nn=1Die Mengen N n sind abgeschlossen. Deshalb sind N und A := [a, b] \ N Borel-meßbar.1. Wir zeigen nun, dass f : [a, b] → R Lebesgue-meßbar ist. Es gilt:f −1 ((−∞, a)) = f| −1A((−∞, a)) ∪ {x ∈ N | f(x) < a}.Die Abbildung f| A : A ⊂ R n → R ist stetig, folglich ist f| −1A((−∞, a)) in A offen, d.h. esexistiert eine offene Menge U ⊂ R so dass U ∩ A = f| −1A((−∞, a)). Somit ist f|−1A((−∞, a))Borel-meßbar. Da N 0 := {x ∈ N | f(x) < a} ⊂ N und N eine Lebesguesche Nullmenge ist,ist auf Grund der Vollständigkeit des Lebesgue-Maßes N 0 ebenfalls eine Lebesgue-Menge.Damit ist f Lebesgue-meßbar.2. Wir zeigen nun, dass f : [a, b] → R Lebesgue-integrierbar ist und dass das Lebesgue- unddas Riemann-Integral übereinstimmen: Da f beschränkt ist, existiert eine Konstante C ∈ R +mit |f(x)| ≤ C für alle x ∈ [a, b] . Da die Majorante F := C · χ [a,b] Lebesgue-integrierbar ist,ist f dies auch (siehe Satz 11.27, 3).Für eine Unterteilung P = {a = t 0 < t 1 < · · · < t k = b} sei B P := {t 0 , t 1 , . . . , t k } dieNullmenge, die aus den Teilungspunkten besteht und ϕ P die Funktion⎧⎪⎨k∑ ( )inf f| [tj−1 ,tϕ P (x) :=j ] falls x ∈ (t j−1 , t j )j=1⎪⎩0 falls x ∈ B P .Da f : [a, b] → R Riemann-integrierbar ist, existiert eine Folge von Unterteilungen P n ={a = t n0 < t n1 < . . . < t nkn = b} von [a, b] mit ‖P n ‖ → 0 und∫ bR−af(x)dx = limn→∞ S(f, P n) = limk n∑n→∞j=1inf ( f| [tnj−1 ,t nj ])·(tnj −t nj−1 ) = lim∫n→∞[a,b]ϕ Pn dλ 1 .43