Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Sei V f die Menge, die von der dabei entstehenden Fläche eingeschlossen wird. V f heißt dervon f erzeugte Rotationskörper. Es giltDas Lebesgue-Maß von V f istV f = {(x, y, z) ∈ R 3 | z ∈ [a, b] und x 2 + y 2 ≤ f(z) 2 }∫ bλ 3 (V f ) = π ·af(z) 2 dλ 1 (z) .Um das einzusehen, berechnen wir das Maß der z-Schnitte. Die Menge(V f ) z = {(x, y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ f(z) 2 }ist eine Kreisscheibe vom Radius f(z). Für das Maß gilt deshalbAus dem Prinzip von Cavalieri erhalten wirλ 2 ((V f ) z ) = Area(K(0, f(z))) = π · f(z) 2 .∫λ 3 (V f ) = dλ 3 =V f∫ ba∫ bλ 2 ((V f ) z ) dλ 1 (z) = πaf(z) 2 dλ 1 (z) .Beispiel 3: Sei A = {(x, y) ∈ R 2 | 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 1 , x, y ≥ 0} die Viertelkreisscheibe undf die durch f(x, y) = x · y definierte stetige Funktion. Wir berechnen das Integral von füber A.Für die x-Schnitte von A erhalten wir{∅ falls x < 0 oder x > 1A x =[0, √ 1 − x 2 ] falls x ∈ [0, 1]y11xFür das Integral folgt dann aus dem Prinzip von Cavalieri∫ ∫∫ ( ∫ )fdλ 2 = χ A f dλ 2 = (χ A f)(x, y) dλ 1 (y) dλ 1 (x)AR 2 R R==∫R∫ 10( ∫ A xf(x, y) dy)dx =12 x(1 − x2 )dx = 1 2∫ 10∫ 10(√1−x 2∫0)xy dy dx(x − x 3 )dx = 1 4 − 1 8 = 1 857