Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Beweis: Für p = 1 ist die Behauptung trivial. Sei p > 1. Für beliebige reelle Zahlen a, b giltdenn|a + b| p ≤ 2 p (|a| p + |b| p ) , (∗∗)|a + b| p ≤ (|a| + |b|) p ≤ (2 · max(|a|, |b|)) p≤ 2 p · max(|a| p , |b| p ) ≤ 2 p (|a| p + |b| p ) .Wir setzen nun a = f(x) und b = h(x) und integrieren (∗∗). Damit erhält man∫( ∫ ∫)|f(x) + h(x)| p dµ(x) ≤ 2 p |f(x)| p dµ(x) + |h(x)| p dµ(x) < ∞XXXund somit f + h ∈ L p . Wir zeigen nun die Dreiecksungleichung für ‖ · ‖ p . Wir benutzen dazudie Hölderungleichung:∫∫|f + h| p dµ = |f + h| · |f + h| p−1 dµX≤X∫X≤ ‖f‖ p( ∫ X|f| · |f + h| p−1 dµ +|f + h| q(p−1) dµ∫X) 1q|h| · |f + h| p−1 dµ( ∫+ ‖h‖ p ·X|f + h| q(p−1)) 1/q( ∫= (‖f‖ p + ‖h‖ p ) ·X|f + h| q(p−1) dµ) 1/q.Da 1 p + 1 q= 1, folgt p = q(p − 1) und deshalb∫( ∫ 1/q|f + h| p dµ ≤ (‖f‖ p + ‖h‖ p ) · |f + h| dµ) p .XXDaraus folgt‖f + h‖ p =( ∫ X|f + h| p dµ) 1−1/q≤ ‖f‖p + ‖h‖ p .Als Konsequenz erhalten wir, dass ‖ · ‖ p : L p → R eine Halbnorm auf L p ist, d.h. es gilt:‖f‖ p ≥ 0‖f + h‖ p≤ ‖f‖ p + ‖h‖ p‖λ · f‖ p = |λ| · ‖f‖ p ∀ f, h ∈ L p , λ ∈ K = R bzw. C.Um einen normierten Vektorraum zu erhalten, müssen wir alle diejenigen f ∈ L p “herausfaktorisieren”,für die ‖f‖ p = 0 gilt. Das sind gerade diejenigen Funktionen, die sich nurauf einer µ-Nullmenge von Null unterscheiden. Im Falle K = R können wir durch Abändernauf einer Menge von Maß Null erreichen, dass f endliche Werte hat. Sei alsoN := {f : X → K | fA-meßbar und f = 0 µ-fast überall}und bezeichneL p (X, A, µ) = L p := L p /N .66