Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

OBdA können wir voraussetzen, dass µ ∗ (C n ) < ∞ für alle n ∈ N. Sei ε > 0. Nach Definitionvon µ ∗ ⋃existieren Mengen A nk ∈ R, k = 1, 2, . . . mit C n ⊂ ∞ A nk undDa ∞ ⋃n=1C n ⊂n=1∞ ⋃n,k=1∞∑k=1µ(A nk ) ≤ µ ∗ (C n ) + ε2 n .A nk folgt nach Definition von µ ∗∞⋃∞∑ ∞∑∞∑µ ∗ ( C n ) ≤ µ(A nk ) ≤ (µ ∗ (C n ) + ε∞ 2 n ) = ∑∞∑µ ∗ (C n ) + εn=1 k=1Mit ε → 0 folgt die Behauptung.n=1k=1n=1n=112 n} {{ }=12. R ⊂ A µ ∗:Sei A ∈ R. Zu zeigen ist, dass A µ ∗ -meßbar ist. Dazu genügt es zu zeigen, dass für alleE ⊂ X mit µ ∗ (E) < ∞ giltµ ∗ (E) ≥ µ ∗ (E ∩ A) + µ ∗ (E ∩ (X\A)) .Wir wählen dazu A n ∈ R, n = 1, 2, . . . mit E ⊂ ∞ ⋃A n = (A n ∩ A)} {{ }∈Rn=1A n . Es gilt:˙⋃(X\A) ∩ An} {{ }=(A n \A) ∩ A n} {{ }∈RDa µ ein Inhalt ist, folgt µ(A n ) = µ(A ∩ A n ) + µ(A n ∩ (X\A)) für alle n ∈ N und somit.∞∑∞∑∞∑µ(A n ) = µ(A ∩ A n ) + µ(A n ∩ (X\A))n=1n=1n=1(∗)⋃Da E ∩ A ⊂ ∞ ⋃(A n ∩ A) und E ∩ (X\A) ⊂ ∞ (A n ∩ (X\A)), folgt weiterhinn=1µ ∗ (E ∩ A) + µ ∗ (E ∩ (X\A))∞⋃∞⋃≤ µ ∗ ( (A n ∩ A)) + µ ∗ ( (A n ∩ (X\A)) (Monotonie)≤≤(∗)=n=1n=1n=1n=1∞∑∞∑µ ∗ (A n ∩ A) + µ ∗ (A n ∩ (X\A)) (σ- halbadditiv)n=1n=1∞∑∞∑µ(A n ∩ A) + µ(A n ∩ (X\A)) (da A n ∩ A ∈ R)∞∑µ(A n )n=1(∗∗)Wir bilden in (∗∗) das Infimum über alle Mengen-Folgen (A n ) ∞ n=1 und erhaltenAlso gilt: A ∈ A µ ∗.n=1µ ∗ (E ∩ A) + µ ∗ (E ∩ (X\A)) ≤ µ ∗ (E).15