Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

11.5.2 Integration über Produkträumen (Satz von Fubini)Satz 11.37 (Satz von Fubini). Seien (X, A, µ) und (Y, B, ν) σ-endliche Maßräume.1. Sei f : X × Y → [0, ∞] eine A ⊗ σ B-meßbare Funktion. Dann sind die Funktionenϕ f : x ∈ X ↦→ψ f : y ∈ Y↦→∫Y∫Xf(x, y)dν(y)f(x, y)dµ(x)A-meßbar,B-meßbarund es gilt∫fd(µ ⊗ ν) =∫) ∫f(x, y)dν(y) dµ(x) =)f(x, y)dµ(x) dν(y) .( ∫ Y( ∫ XX×YXY2. Sei f : X × Y → ¯R eine µ ⊗ ν-integrierbare Funktion. Dann sind die Funktionenx ∈ X → f(x, y 0 ) integrierbar für ν-fast alle y 0 ∈ Y (d.h. auf Y 0 ⊂ Y )y ∈ Y → f(x 0 , y) integrierbar für µ-fast alle x 0 ∈ X (d.h. auf X 0 ⊂ X)und es gilt:∫fd(µ ⊗ ν) =∫) ∫f(x 0 , y)dν(y) dµ(x 0 ) =)f(x, y 0 )dµ(x) dν(y 0 )( ∫ Y( ∫ XX×YX 0Y 0Man schreibt anstelle von X 0 bzw.Y 0 oft auch X bzw. Y , da man eine integrierbare Funktionauf Nullmengen beliebig abändern kann.Beweis:1. Wir beweisen die 1. Behauptung in 3 Schritten: für charakteristische Funktionen, füreinfache Funktionen und für nichtnegative meßbare numerische Funktionen.a) Sei f eine charakteristische Funktion, d.h. f = χ E , wobei E ∈ A ⊗ σ B. Da E x ∈ B, istf(x, ·) = χ Ex B-meßbar. Analog folgt, dass f(·, y) = χ Ey A-meßbar ist. Weiterhin gilt:∫∫ϕ f (x) = χ E (x, y)dν(y) = χ Ex dν(y) = ν(E x ) .YNach Satz 11.35 ist die Funktion ϕ f A-meßbar. Analog zeigt man, dass ψ f B-meßbar ist.Nach Defintion des Produktmaßes gilt außerdem∫X×Yχ E (x, y)d(µ ⊗ ν) = (µ ⊗ ν)(E)==∫∫ν(E x )dµ(x) = µ(E y )dν(y)X∫X( ∫ YYY) ∫ ( ∫χ E (x, y)dν(y) dµ(x) =Y X)χ E (x, y)dµ(x) dν(y) .b) Wegen der Additivität des Integrals gilt die Behauptung auch für einfache Funktionen f.c) Sei f : X × Y → [0, ∞] eine A ⊗ σ B -meßbare Funktion. Dann existiert eine monoton51