Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Nach Definition gilt f n ≤ f. Die Funktionen f n sind einfach. Seien nämlichA ni :={x ∈ X | i − 12 n ≤ f(x) < i2 n }A n := {x ∈ X | f(x) ≥ n}i = 1, . . . , 2 n · nDa f A-meßbar ist, sind A ni , A n ∈ A. Da f ≥ 0, ist X die disjunkte Vereinigung der MengenA n und A ni , i = 1, . . . , 2 n · n. Nach Definition von f n gilt außerdemf n =n·2 n∑i=1i − 12 n · χ A ni+ n · χ An .Also ist f n eine einfache Funktion. Wir zeigen nun, dass die Funktionenfolge (f n ) monotonwachsend ist: Für die Mengen A ni gilt:A ni ={2(i − 1)x ∈ X |2 n+1 ≤ f(x) < 2i − 1 }} {{2 n+1 }A n+1,2i−1{∪Aus der Definition der Funktionen f n und f n+1 erhält manf n+1 | An+1,2i−1 =x ∈ X | 2i − 12i}≤ f(x) f n | AniA n = A n+1 ∪ {x ∈ X | n ≤ f(x) < n + 1}undf n+1 | An+1 = n + 1 > f n | An+1 = n und f n+1 | {n≤f