Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Es gilt U = ∞ ⋃k=1für alle k ∈ N gilt. Es istU k := {x ∈ Y | dist(x, Y \U) > 1 } {{ } k } ⊂ YabgU k und f −1 (U) = ∞ ⋃k=1f −1 (U k ). Es genügt somit zu zeigen, dass f −1 (U k ) ∈ Af −1 (U k ) = {x ∈ X | f(x) ∈ U k } = {x ∈ X | d(f(x), X\U) > 1 k }.Da lim f n(x) = f(x), folgt aus der Dreiecksungleichungn→∞{f −1 (U k ) = x ∈ X | ∃ n 0 ∈ N mit d(f n (x), X\U) > 1 }k ∀ n ≥ n 0=∞⋃n 0 =1⋂{x ∈ X | d(f n (x), X\U) > 1 k }n≥n 0 } {{ }{x∈X | f n (x)∈U k }=fn −1 (U k )Da die Funktionen f n : X → Y meßbar sind, ist f −1n (U k ) ∈ A ∀n ∈ N und folglich giltf −1 (U k ) ∈ A.Für vollständige Maßräume kann man die Meßbarkeitsvoraussetzung an die Folge (f n )etwas abschwächen.Definition: Sei (X, A, µ) ein Maßraum. Man sagt: Eine Eigenschaft gilt auf X“µ-fast überall”, falls sie auf X\N gilt, wobei N ∈ A eine µ-Nullmenge ist.Satz 11.18. Sei (X, A, µ) ein vollständiger Maßraum, Y ein metrischer Raum oder Y = ¯R.Sei (f n : X → Y ) eine Folge A-meßbarer Funktionen und f : X → Y . Die Folge (f n )konvergiere µ-fast überall gegen f, d.h.lim f n(x) = f(x) ∀x ∈ X\N, N ∈ A 0 .n→∞Dann ist die Grenzfunktion f ebenfalls A-meßbar.Beweis: Sei E := {x ∈ X | f(x) = lim f n(x)}. Es gilt X = E ˙∪(X\E). Nach Voraussetzungist X\E ∈ A 0 . Da die Funktionen f n meßbar sind, ist auch f n | E meßbar. Nachn→∞Definition konvergiert die Folge (f n | E ) punktweise gegen f| E . Nach Satz 11.17 ist dannf| E A-meßbar. Da X\E eine Nullmenge und µ vollständig ist , ist f| X\E ebenfalls A-meßbar (Satz 11.14). Wiederum aus Satz 11.14 folgt somit, dass f : X → Y A-meßbar ist.11.3.2 Lebesgue-meßbare Funktionen auf R nDefintion: Eine numerische Funktion f : R n → ¯R heißt• Borel-meßbar, falls f B(R n )-meßbar ist.• Lebesgue-meßbar, falls f L(R n )-meßbar ist.Insbesondere ist jede stetige Funktion f : R n → R Borel-meßbar und somit auch auchLebesgue-meßbar. Man hat das folgende Kriterium für Lebesgue-meßbare Funktionen:31