Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Es genügt also zu zeigen, dass σ(E ∩ X n ) = ˜µ(E ∩ X n ) gilt. Wir zeigen etwas allgemeinerdie folgende Behauptung: Sei A ∈ R eine Menge von endlichem Maß und Y ∈ A σ (R) eineTeilmenge von A. Dann gilt σ(Y ) = ˜µ(Y ): Nach Definition istEs gilt:⎧⎪⎨ ∞∑˜µ(Y ) = µ ∗ (Y ) = inf µ(A n )⎪⎩ } {{ }σ(Y ) ≤ σ( ⋃ nn=1=σ(A n )n=1| Y ⊂ ⋃ nA n ,∞∑∞∑A n ) ≤ σ(A n ) = µ(A n )n=1⎫⎪⎬A n ∈ R⎪⎭Wir bilden das Infimum über alle derartigen Folgen (A n ) ∞ n=1 und erhalten σ(Y ) ≤ µ ∗ (Y ) =˜µ(Y ). Analog erhält man σ(A\Y ) ≤ ˜µ(A\Y ). Damit ergibt sich˜µ(A) = σ(A) = σ(A\Y ) + σ(Y ) ≤ ˜µ(A\Y ) + ˜µ(Y ) = ˜µ(A)D.h. in der letzten Kette gilt überall die Gleichheit. Insbesondere ist demnach σ(Y ) = ˜µ(Y ).Wir fassen abschließend die in Abschnitt 11.2. dargestellte Konstruktion in dem folgendenDiagramm zusammen.(X, R, µ)Prämaßraum✲(X, P(X), µ ∗ )äußeres Maß(X, A σ (R), ˜µ := µ ∗ | Aσ(R))minimale Fortsetzungzu einem Maßraum;eindeutig falls µ σ-endlich.✙Vervollst.✲µ σ-endl.❄(X, A µ ∗, µ ∗ | Aµ ∗ )vollständige Fortsetzungzu einem Maßraum.Im nächsten Abschnitt wenden wir diese Konstruktion auf den folgenden Prämaßraum an:X = R n , R = R n = Ring der Figuren im R n , µ = v n = elementargeometrisches Volumender Figuren (siehe Abschnitt 11.2.1)11.2.3 Das Lebesgue-Maß im R nFür die Integrationstheorie im R n benutzt man das “Lebesgue-Maß”, das jetzt definiertwird. Seien X = R n , R n der Ring der Figuren des R nR n = {∅} ∪ {A ⊂ R n | A =m⋃Q i , Q i paarweise disjunkte halboffene Quader}i=1und ν n : R → [0, ∞) das elementargeometrische Volumen der Figuren⎧⎨ν n (A) = m∑⎩i=10 falls A = ∅⋃vol(Q i ) falls A = m Q i .19i=1