Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Folgerung 4: Sei f : X → [0, ∞] eine A-meßbare, nichtnegative Funktion. Dann existierteine monoton wachsende Folge einfacher Funktionen (ϕ n ) mit ϕ n ↑ f (Satz 11.16) und esgilt∫∫fdµ = lim ϕ n dµXn→∞XFolgerung 5: Sei f nDann gilt: X → [0, ∞] eine Folge A- meßbarer, nichtnegativer Funktionen.∞∑∫ ∫ ∞∑f n dµ = f n dµn=1XXn=1Für eine beliebige Folge meßbarer, nichtnegativer Funktionen gilt der folgende KonvergenzsatzSatz 11.24 (Lemma von Fatoo). Sei (f n : X → [0, ∞]) eine Folge meßbarer Funktionen.Dann gilt∫∫lim inf f n dµ ≤ lim inf f n dµn nBeweis: Für den Limes inferior einer Folge giltXXlimninf f n = supninfk≥n f kSei nun g n := inf f k. Nach Satz 11.15 ist die Funktion g n A-meßbar. Weiterhin gilt g n ≤k≥ng n+1 und g n ≤ f k ∀k ≥ n. Daraus folgt∫ ∫g n dµ ≤ f k dµ ∀k ≥ n, d.h.XXXX∫∫g n dµ ≤ inf f k dµXk≥nXWir wenden den Satz über die monotone Konvergenz auf die Funktionenfolge (g n ) an underhalten∫∫∫∫lim inf f n dµ = sup g n dµ = lim g ndµ = lim g n dµnn→∞ n→∞= supnXXnk≥nX(∗)∫∫g n dµ (∗)≤ sup inf f n dµ = limnX∫infXf n dµ.Als nächstes definieren wir das Integral über eine beliebige A-meßbare numerische Funktionf : X → ¯R. Sei f : X → ¯R A-meßbar. Dann sind die Funktionenf + := max{f, 0} ≥ 0 und f − := max{−f, 0} ≥ 0ebenfalls A-meßbar und es gilt f = f + − f − und |f| = f + + f − .37