Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Satz 11.41. Für das Volumen der Kugel D n (R) gilt⎧⎪⎨Vol (D n (R)) =⎪⎩Für die kleinen Dimensionen erhält manπ n/2·R n( n 2 )!2 n+12 ·π n−12 ·R n1·3·5·...·nn geraden ungeradeVol (D 1 (R)) = 2RVol (D 2 (R)) = πR 2Vol (D 3 (R)) = 4 3 πR3Vol (D 4 (R)) = 1 2 π2 R 4Vol (D 5 (R)) = 8 15 π2 R 5 .Außerdem folgt folgende Rekursionsformel für das Volumen:Vol (D n (R)) = 2 n π R2 Vol (D n−2 (R)) .Beweis von Satz 11.41:Um das Volumen der Kugel zu berechnen, führen wir Kugelkoordinaten im R n ein.Sei g n die Abbildungg n : (0, ∞) × (0, 2π) × (− π 2 , π 2 )n−2} {{ }U 1→ R n \ A} {{ }U 2g n (r, ϕ 1 , ϕ 2 , . . . , ϕ n ) =: (x 1 , . . . , x n )mitx 1x 2x 3:= r · cos ϕ 1 · cos ϕ 2 · cos ϕ 3 · . . . · cos ϕ n−2 · cos ϕ n−1:= r · sin ϕ 1 · cos ϕ 2 · cos ϕ 3 · . . . · cos ϕ n−2 · cos ϕ n−1:= r · sin ϕ 2 · cos ϕ 3 · . . . · cos ϕ n−2 · cos ϕ n−1x 4..:= r · sin ϕ 3 · cos ϕ 4 · · · · · cos ϕ n−2 · cos ϕ n−1x n−1x n:= r · sin ϕ n−2 · cos ϕ n−1:= r · sin ϕ n−1g n : U 1 → U 2 ist ein C 1 -Diffeomorphismus zwischen den offenen Mengen U 1 und U 2 , Abezeichnet dabei die Nullmenge, die man herausnehmen muß, um einen Diffeomorphismuszu erhalten.Für n = 2 sind dies z.B. die Polarkoordinaten in der Ebenex 1 = r · cos ϕ 1x 2 = r · sin ϕ 1 .Für n = 3 sind dies z.B. die Kugelkoordinaten im Raumx 1 = r · cos ϕ 1 · cos ϕ 2x 2 = r · sin ϕ 1 · cos ϕ 2x 3 = r · sin ϕ 2 .61