Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

( ∫ )konvergiert die Folge |f|dµ .M n(⇐) Nach Voraussetzung an die Folge der Mengen (M n ) gilt χ Mn f → f und χ Mn |f| ↑ |f|. Nach dem Satz über die monotone Konvergenz folgt∫∫ ∫lim χ Mn |f|dµ = lim |f|dµ = |f|dµ.n→∞n→∞MM n MNach Voraussetzung 2 ist dann∫M|f|dµ < ∞ ,d.h |f| ∈ L(M, A M , µ A ) und demnach auch f ∈ L(M, A M , µ M ) . Da χ Mn f → f, folgtaus dem Satz über die majorisierte Konvergenz (F = |f|), dass∫∫∫lim f dµ = lim χ Mn f dµ = f dµ.n→∞M nn→∞MMSatz 11.30 (Integration bezüglich eines Bildmaßes). Sei (X, A, µ) ein Maßraum,(Y, B) ein meßbarer Raum und T : X → Y eine (A, B)-meßbare Abbildung. Es bezeichneT ∗ µ := µ ◦ T −1 das Bildmaß auf B.Ist f : Y → ¯R T ∗ µ -integrierbar, so ist f ◦ T : X → ¯R ebenfalls µ-integrierbar und es gilt∫∫f d(T ∗ µ) = f ◦ T dµ.YXBeweis:1. Sei B ∈ B und f = χ B . Dann gilt∫χ B d(T ∗ µ) = (T ∗ µ)(B) = µ(T −1 (B)) =Y∫X∫χ T −1 (B)dµ =Xχ B ◦ T dµ.2. Ist f : Y → R eine einfache Funktion, so folgt die Behauptung aus 1.3. Sei f : Y → [0, ∞] eine nichtnegative, meßbare Funktion. Dann existiert eine monotonwachsende Folge einfacher Funktionen ϕ n : Y → [0, ∞) mit ϕ n ↑ f und∫∫∫lim (ϕ n ◦ T ) dµ (2)= lim ϕ n d(T ∗ µ) = f d(T ∗ µ). (∗)n→∞Xn→∞YDie Funktionenfolge (ϕ n ◦ T ) n ist ebenfalls monoton wachsend und es gilt ϕ n ◦ T ↑ f ◦ T .Nach dem Satz über die monotone Konvergenz folgt∫∫∫f d(T ∗ µ) (∗)= lim (ϕ n ◦ T ) dµ = (f ◦ T ) dµ.Yn→∞X4. Sei nun f : Y → ¯R eine beliebige T ∗ µ-integrierbare Funktion. Dann wendet man 3. aufdie Funktionen f + und f − an und erhält die Behauptung.XY42