Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Satz 11.38. Seien (X, A, µ) und (Y, B, ν) vollständige, σ-endliche Maßräume. Sei E ∈A ⊗ σ B eine Nullmenge, d.h. (µ ⊗ ν)(E) = 0, und F ⊂ E. Dann gilt für die Schnitte von F1. µ(F y ) = 0 für ν-fast alle y ∈ Y .2. ν(F x ) = 0 für µ-fast alle x ∈ X.Beweis: Nach Folgerung 6 ist ν(E x ) = 0 für µ-fast alle x ∈ X . Da F x ⊂ E x und νvollständig ist, ist F x ∈ B und ν(F x ) = 0 für µ-fast alle x ∈ X. Analog zeigt man die andereBehauptung.Satz 11.39 (Satz von Fubini für die Vervollständigung von Produktmaßen). Seien(X, A, µ) und (Y, B, ν) vollständige σ-endliche Maßräume.1. Sei f : X × Y → [0, ∞] eine A ⊗ σ B-meßbare Abbildung. Dann gilt:a) x ∈ X ↦→ f(x, y) ist A-meßbar für ν-fast alle y ∈ Y (d.h. auf Y 0 )y ∈ Y ↦→ f(x, y) ist B-meßbar für µ-fast alle x ∈ X (d.h. auf X 0 )b) x ∈ X 0 ↦→ ∫ Yf(x, y)dν(y) ist A-meßbarc)y ∈ Y 0 ↦→ ∫ f(x, y)dµ(x) ist B-meßbar.X∫f(x, y)d(µ ⊗ ν) = ∫ ( ∫ )f(x, y)dν(y) dµ(x) = ∫ ( ∫ )f(x, y)dµ(x) dν(y).X 0 YY 0 XX×Y2. Sei f : X × Y → ¯R eine A ⊗ B µ⊗ν -integrierbare Funktion. Dann gilta) y ∈ Y ↦→ f(x, y) ist ν-integrierbar für µ-fast alle x ∈ X (d.h. auf X 0 )x ∈ X ↦→ f(x, y) ist µ-integrierbar für ν-fast alle y ∈ Y (d.h auf Y 0 )b) x ∈ X 0 ↦→ ∫ Yf(x, y)dν(y) ist integrierbary ∈ Y 0 ↦→ ∫ f(x, y)dµ(x) ist integrierbar.X∫c) f(x, y)d(µ ⊗ ν) = ∫ ( ∫ )f(x, y)dν(y) dµ(x) = ∫ ( ∫ )f(x, y)dµ(x) dν(y).X×YX 0 YY 0 XBeweis: Wir beweisen lediglich die Behauptung 1 für charakteristische Funktionen. Danachschliesst man wie in Satz 11.37, dass die Behauptung 1 auch für einfache und nichtnegativemeßbare Funktionen gilt. Die Behauptung 2 folgt dann wie im Satz 11.37 durch Zerlegungvon f in f = f + − f − und Anwendung von 1. auf f ± .Sei H ∈ A ⊗ σ B µ⊗v . Dann gilt nach Definition der VervollständigungH = G ∪ F , G ∈ A ⊗ σ B , F ⊂ E ∈ ( A ⊗ σ B ) 0.Für die x-Schnitte gilt: H x = G x ∪ F x . Nach Satz 11.34 ist G x ∈ B , nach Satz 11.38 istF x ∈ B und ν(F x ) = 0 für µ-fast alle x ∈ X. Demnach ist H x ∈ B für µ-fast alle x ∈ X. DieMenge dieser x ∈ X bezeichnen wir mit X 0 . Auf X 0 giltν(H x ) = ν(G x ∪ F x ) ≤ ν(G x ) + ν(F x ) = ν(G x ) .} {{ }=0Wegen G x ⊂ H x und der Monotonie des Maßes erhalten wir ν(H x ) = ν(G x ) . Die Funktionχ H (x, ·) = χ Hx ist meßbar auf X 0 und für x ∈ X 0 gilt∫∫χ H (x, y)dν(y) = ν(H x ) = ν(G x ) = χ G (x, y)dν(y)Y54Y