Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Wir zeigen, dass λ σ-additiv ist: Seien dazu E n ∈ A⊗ σ B , n = 1, 2, . . . , paarweise disjunkteMengen. Dann gilt:∞⋃∫ ( ( ⋃∞ ) ) ∫ ( ⋃∞λ( E n ) = ν E n dµ(x) = ν (E n ) x)dµ(x)n=1=X∫X∞∑n=1n=1xν((E n ) x )dµ(x) Folg.5=Xn=1Xn=1∞∑∫∞∑ν((E n ) x )dµ(x) = λ(E n ) .Wir zeigen, dass λ ist σ-endlich ist: Da µ und ν σ-endliche Maße sind, gibt es eineAusschöpfung von X und Y durch Mengen vom endlichen Maß.∞⋃X = X n , X n ⊂ X n+1 , X n ∈ A, µ(X n ) < ∞Dann gilt aberY =X × Y =n=1∞⋃Y n , Y n ⊂ Y n+1 , Y n ∈ B, ν(Y n ) < ∞n=1n=1∞⋃(X n × Y n ) , X n × Y n ∈ A × B ⊂ A ⊗ σ Bn=1und die Mengen X n × Y n haben endliches Maß∫∫λ(X n × Y n ) = ν((X n × Y n ) x )dµ(x) = χ Xn (x) · ν(Y n )dµ(x)X= µ(X n ) · ν(Y n ) < ∞ .Zu 2.: Für das Maß des Produktes zweier Mengen aus A und B gilt∫∫λ(A × B) = ν((A × B) x )dµ(x) = χ A (x) · ν(B)dµ(x) = µ(A) · ν(B) .XZu 3.: Um die Eindeutigkeit des Produktmaßes zu zeigen, benutzen wir den HahnschenFortsetzungssatz (Satz 11.9). Das Mengensystem E ist ein Ring (sogar eine Algebra) unddie Abbildung ˜λ : E → [0, ∞] definiert durch( ⋃˜λṁ ) m∑A i × B i := µ(A i ) · ν(B i )i=1ist ein σ-endlicher σ-Inhalt auf E. Dann existiert genau ein Maß λ auf A σ (E) =: A ⊗ σ B,das ˜λ| A×B fortsetzt.Xi=1XFolgerung 6: Sei E ∈ A ⊗ σ B. Dann gilt(µ ⊗ ν)(E) = 0 ⇐⇒ µ(E y ) = 0 ν − fast überall auf Y undν(E x ) = 0 µ − fast überall auf X.Wir merken uns folgenden Fakt: Das Produktmaß einer Menge E ∈ A ⊗ σ B berechnet man,indem man über die Maße der x- bzw. y-Schnitte integriert:∫∫(µ ⊗ ν)(E) = ν(E x )dµ(x) = µ(E y )dν(y) .Dies nennt man das “Prinzip von Cavalieri“.XY50