Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Damit erhalten wirπ∫20cos n−3 (t)dt ·π∫20cos n−2 (t)dt ==⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩1·3·...·(2k−1)2·4·...·(2k)· π2 · 2·4·...·(2k−2)1·3·...·(2k−1)n − 2 = 2k2·4·...·(2k)1·3·...·(2k+1) · 1·3·...·(2k−1)2·4·...·(2k)· π2n − 2 = 2k + 112k · π2n − 2 = 2k12k+1 · π2n − 2 = 2k + 1=1n − 2 · π2Setzt man dies in die obigen Integrale ein, so folgt für das Volumen die folgende RekursionsformelVol (D n (R)) = 2 n πR2 · Vol (D n−2 (R))Für n = 1 und n = 2 berechnet man das Volumen direkt und erhältVol (D 1 (R)) = 2RVol (D 2 (R)) = πR 2 .Dann folgt die Behauptung von Satz 11.41 durch Induktion aus der Rekursionsformel.11.7 L p -RäumeIn diesem Abschnitt lernen wir weitere unendlich-dimensionale Banachräume kennen, dieL p -Räume.Zur Erinnerung: Ein Banachraum ist ein vollständiger normierter Vektorraum (E, ‖·‖), d.h.jede Cauchy-Folge in diesem normierten Raum konvergiert. Wir kennen bereits folgendeBeispiele aus Analysis I und II:1. Jeder endlich-dimensionale normierte Vektorraum ist ein Banachraum (siehe Analysis II,Kapitel 7).2. Sei E die Menge aller beschränkten Folgen x = (x 1 , x 2 , x 3 , . . .) von reellen Zahlen mit derVektorraumstrukturund der Normλ · x + µ · y := (λx 1 + µy 1 , λx 2 + µy 2 , . . .)‖x‖ := sup |x i | .iDann ist (E, ‖ · ‖) ein unendlich-dimensionaler Banachraum.3. Sei (X, d) ein kompakter metrischer Raum und E := C(X, R) = {f : X → R | f stetig }der Vektorraum der reellwertigen stetigen Funktionen auf X mit der Norm‖f‖ ∞ := max{|f(x)| | x ∈ X}.Dann ist (C(X, R), ‖ · ‖ ∞ ) ein unendlich-dimensionaler Banachraum.63