Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

• F = {id, f} die von der Drehung f mit Drehwinkel π und Drehachse d f erzeugteGruppe.• H = {id, h, h −1 } die von der Drehung h mit Drehwinkel 2/3π und Drehachse d herzeugte Gruppe.Lemma 11.8.7.(i) G := 〈F, H〉 = F ∗ H ≃ Z 2 ∗ Z 3 .(ii) Es existiert eine disjunkte Zerlegung G = X ⊔ Y ⊔ Z mitfX = Y ⊔ Z, hX = Y, h −1 X = Z (∗)Beweis:Zu(i): Sei g(ɛ) = h ɛ f (ɛ = ±1). Dann lässt sich jedes g ∈ G schreiben als ein Wort von derGestalt g = a g ɛ1 g ɛ2 . . . g ɛk , wobei a ∈ {id, f}, k ∈ N 0 und ɛ i = ±1 (1 ≤ i ≤ k). Zu zeigenist, dass diese Darstellung von g eindeutig ist:1) Für alle k ∈ N und alle k-Tupel (ɛ 1 , . . . , ɛ k ) ∈ {±1} k gilt:g(ɛ 1 , . . . , ɛ k ) := g ɛ1 g ɛ2 . . . g ɛk ∉ {id, f}Dazu wählen wir eine Basis {e 1 , e 2 , e 3 } in R 3 , so dass d f ∈ Re 3 und d h ∈ R(e 3 −e 2 ). In einersolchen Basis gilt:⎛⎞⎛√ ⎞1−1 0 02− ɛ 2 3/2ɛ2√3/2Mat(f) =⎜ 0 −1 0⎟⎝⎠ , Mat(hɛ ) =ɛ⎜⎝2√3/2 −1/4 −3/4⎟√⎠0 0 13/2 3/4 1/4ɛ2ɛ √3/2 (#)22) Für alle k ∈ N und alle k-Tupel (ɛ 1 , . . . , ɛ k ) ∈ {±1} k existieren n i := n i (ɛ 1 , . . . , ɛ k ),i = 1, 2, 3 mit:n 1 ∈ 6Z, n 2 + n 3 ∈ 4Z n 2 , n 3 ∈ Z, (2a)so dassMat ( g(ɛ 1 . . . ɛ k ) ) 1,i=1,2,3= ( 1 + n12 k ,n 22 k √3/2,n 32 k √3/2)(2b)Insbesondere folgt aus 2) sofort 1) und damit (i), da z.B. Mat ( g(ɛ 1 . . . ɛ k ) ) 1,1 ≠ ±1.Wir beweisen 2) mittels vollständiger Induktion über k:• Für k = 1 ersieht man aus (#) sofort: n 1 (ɛ 1 ) = 0, n 2 (ɛ 1 ) = −ɛ 1 , n 3 (ɛ 1 ) = ɛ 1 . Offensichtlicherfüllen die n i (ɛ 1 ) die Eigenschaft (2a).• Sei nun k ≥ 1 und Mat ( g(ɛ 1 . . . ɛ k ) ) ( = √ √1+n 1 n, 21,i=1,2,3 2 k 2 3/2,n 3k 2 3/2), wobei diekn i die Eigenschaften (2a) erfüllen sollen 6 . Durch Multiplikation von rechts mit g(ɛ k+1 )6 Die Parameter ɛ i seien an dieser Stelle zu Gunsten der Übersichtlichkeit unterdrückt.73