Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Folglich ist A ∪ B ∈ A µ ∗.Ist andererseits µ ∗ (E ∩ B ∩ (X\A)) = ∞. Dann folgt aus (11.1) µ ∗ (E ∩ (A ∪ B)) = ∞.Wegen der Monotonie ist µ ∗ (E) = ∞. Das zeigt ebenfalls, dass A ∪ B ∈ A µ ∗.2. Wir zeigen nun, dass A µ ∗ eine σ-Algebra ist:Seien A, B ∈ A µ ∗ disjunkt, d.h. B ⊂ X\A. Aus (11.1) folgt dannµ ∗ (E ∩ (A ∪ B)) = µ ∗ (E ∩ A) + µ ∗ (E ∩ B) .Durch Induktion erhält man: Sind A 1 , . . . , A n ∈ A µ ∗paarweise disjunkt, so istundn⋃A i ∈ A µ ∗i=1n⋃µ ∗ (E ∩ ( A i )) =i=1n∑µ ∗ (E ∩ A i ) (11.3)Seien nun B 1 , B 2 , . . . ∈ A µ ∗ abzählbar viele µ ∗ -meßbare Mengen. Wir müssen zeigen, dass∞⋃B i ∈ A µ ∗. Dazu betrachten wir die folgende Folge paarweise disjunkter Mengen:i=1A 1 := B 1i=1A i := B i \(B 1 ∪ . . . ∪ B i−1 ) i > 1 .Die Mengen A i sind µ ∗ ⋃-meßbar und es gilt n ⋃A i = n B i .Aus (11.3) folgt für alle E ⊂ Xi=1i=1n⋃n⋃µ ∗ (E) = µ ∗ (E ∩ B i ) + µ ∗ (E ∩ (X\ B i )) =≥i=1n∑∞⋃µ ∗ (E ∩ A i ) + µ ∗ (E ∩ (X\ B i )) .i=1i=1Bilden wir den Grenzwert für n → ∞, so folgt∞∑∞⋃∞⋃µ ∗ (E) ≥ µ ∗ (E ∩ A i ) + µ ∗ (E ∩ (X\ B i )) ≥ µ ∗ (E ∩i=1⋃Damit gilt ∞ B i ∈ A µ ∗.i=1i=1i=1n∑n⋃µ ∗ (E ∩ A i ) + µ ∗ (E ∩ (X\ B i ))i=1i=1A i} {{ }⋃ ∞i=1 B ii=1∞⋃) + µ ∗ (E ∩ (X\ B i )) .3. Es ist noch zu zeigen, dass µ ∗ | Aµ ∗ ein Maß ist. Nach Definition gilt µ ∗ (∅) = 0. Es bleibtalso zu zeigen, dass µ ∗ | Aµ ∗ σ-additiv ist. Seien dazu A 1 , A 2 , . . . ∈ A µ ∗ paarweise disjunkteµ ∗ -meßbare Mengen. Für alle E ⊂ X gilt:n⋃n⋃n⋃µ ∗ (E) = µ ∗ (E ∩ ( A i )) + µ ∗ (E ∩ (X\ A i )) ≥ µ ∗ (E ∩ ( A i ))Für n → ∞ folgt darausi=1i=1n⋃= µ ∗ ( (E ∩ A i )) (11.3)=µ ∗ (E) ≥i=1n∑µ ∗ (E ∩ A i )i=1ı=1i=1∞∑µ ∗ (E ∩ A i ) (11.4)ı=113