Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Beweis:1. Da |f| = f + + f − , gilt{x ∈ X | |f(x)| = +∞} = {x ∈ X | f + (x) = +∞} ∪ {x ∈ X | f − (x) = +∞}.Also genügt es, die Behauptung für A-meßbare Funktionen f : X → [0, ∞] mit∫fdµ < +∞ zu beweisen. Sei M = {x ∈ X | f(x) = +∞}. Für k ∈ N gilt f ≥ f · χ M ≥Xk · χ M . Folglich ist∫+∞ >Dann muss aber µ(M) = 0 gelten.X∫fdµ ≥ k ·Xχ M dµ = k · µ(M) ∀k ∈ N.2. Sei f ∈ L(X, A, µ), h : X → ¯R A-meßbar und f = h µ-fast-überall. Dann gilt f ± = h ±µ-fast überall. Es genügt zu zeigen, dass∫ ∫f ± dµ = h ± dµ.XSei A := {x ∈ X| f + (x) ≠ h + (x)}. Nach Voraussetzung ist µ(A) = 0. Da f + = f + · χ A +f + χ X\A und h + = h + · χ A + h + χ X\A gilt, erhalten wir∫X∫Xf + dµ =h + dµ =∫AAX∫f + dµ +XXf + χ X\A dµ∫ ∫h + dµ + h + · χ X\A dµ.Wegen µ(A) = 0 gilt auch ∫ f + dµ = ∫ h + dµ = 0 . Folglich ist ∫ f + dµ = ∫ h + dµ . AnalogAAXXfolgt die Behauptung für f − .3. Sei h : X → ¯R A-meßbar und |h| ≤ f. Wegen |h| = h + + h − folgt 0 ≤ h + ≤ f und0 ≤ h − ≤ f. Da f µ-integrierbar ist, gilt∫ ∫∫ ∫0 ≤ h + dµ ≤ fdµ < ∞ und 0 ≤ h − dµ ≤ fdµ < ∞.XAlso ist h µ-integrierbar.XXundXAls nächstes beweisen wir einen weiteren wichtigen Konvegenzsatz für das Integral vonFunktionenfolgen.Satz 11.28 (Satz von Lebesgue über die majorisierte Konvergenz). Sei (X, A, µ)ein Maßraum, f : X → ¯R A-meßbar und (f n : X → ¯R) eine Folge A-meßbarer Funktionenmit1. limn→∞ f n(x) = f(x) für µ-fast alle x ∈ X.2. Es existiert eine Funktion F ∈ L(X, A, µ) mit|f n (x)| ≤ F (x) für µ-fast alle x ∈ X.40