Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Also ist die Abbildung x ∈ X ↦−→ ν(E x ) A-meßbar. Analog zeigt man, dass die Abbildungy ∈ Y ↦−→ µ(E y ) B-meßbar ist undm∑µ(E y ) = χ Bi (y)µ(A i )i=1(∗∗)gilt. Für die Integrale erhält man∫Xν(E x )dµ(x) ∗ =m∑∫χ Ai · ν(B i )dµ =i=1Xn∑i=1∫ν(B i ) · µ(A i ) ∗∗=Yµ(E y )dν(y).Zu b) Sei (E n ) eine monoton wachsende Folge von Mengen aus S, d.h. E n ⊂ E n+1 für⋃alle n ∈ N. Wir müssen zeigen, dass die Menge E := ∞ ebenfalls in S liegt. WegenE nn=1E x = ⋃ ∞n=1 (E n) x und der Stetigkeit des Maßes ν von unten, giltν(E x ) = limn→∞ ν((E n) x ).Jede Abbildung x ∈ X ↦→ ν((E n ) x ) , n ∈ N , ist A-meßbar. Damit ist der Grenzwert A-meßbar (Satz 11.17). Analog zeigt man, dass die Abbildung y ∈ Y ↦→ µ(E y ) B-meßbar ist.Da E n ∈ S, gilt nach Definition von S∫∫ν((E n ) x )dµ(x) = µ((E n ) y )dν(y) ∀n ∈ N (∗ ∗ ∗)XYDie Funktionenfolge (x ∈ X ↦→ ν((E n ) x )) ∞ n=1 ist monoton wachsend. Aus dem Satz überdie monotone Konvergenz folgt, dass∫∫ν(E x )dµ(x) = µ(E y )dν(y).Also gilt E ∈ S.XYSei nun (F n ) eine monoton fallende Folge von Mengen aus S, d.h. F n+1 ⊂ F n für alle n ∈ N.⋂Wir müssen zeigen, dass die Menge F := ∞ F n ebenfalls in S liegt.n=11. Fall: Sei zunächst F 1 ⊂ A × B, wobei A ∈ A, B ∈ B und µ(A) < ∞, ν(B) < ∞.Mit den gleichen Argumenten wie im eben besprochenen Fall folgt aus der Stetigkeit desMaßes von oben, dassν(F x ) = limn→∞ ν((F n) x ) und µ(F y ) = limn→∞ µ((F n) y ).Da F 1 ⊂ A × B und ν(B) < ∞ , folgtν((F n ) x ) ≤ ν((F 1 ) x ) ≤ χ A (x) · ν(B) < ∞Aus dem Satz über die majorisierte Konvergenz folgt dann∫∫∫∫ν(F x )dµ(x) = lim ν((F n ) x )dµ(x) Vor= lim µ((F n ) y )dν(y) =Xn→∞Xn→∞YYµ(F y )dν(y) .Also ist F ∈ S.48