Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

11.2 σ-Algebren und Maße11.2.1 Definition und BeispieleWir beschreiben zunächst diejenigen Mengen, die wir messen wollen.Sei X eine nichtleere Menge und P(X) ihre Potenzmenge, d.h. die Menge aller Teilmengenvon X.Definition: Ein nichtleeres Mengensystem S ⊂ P(X) heißt• Ring, falls für alle A, B ∈ S gilt A ∪ B ∈ S und A\B ∈ S.• Algebra, falls für alle A, B ∈ S gilt A ∪ B ∈ S und X\A ∈ S.• σ-Algebra, falls die Vereinigung abzählbar vieler Mengen aus S ebenfalls in S liegtund mit A ∈ S auch X\A ∈ S gilt.Satz 11.2. Ringe, Algebren und σ-Algebren haben folgende Eigenschaften:1. Ist R ⊂ P(X) ein Ring, so gilt• ∅ ∈ R.• A, B ∈ R ⇒ A ∩ B ∈ R.⋃• A 1 , . . . A m ∈ R ⇒ m m⋂A i , A i ∈ R.i=1i=12. Ist A ⊂ P(X) eine Algebra, so gilt• ∅, X ∈ A.• A ist ein Ring.3. Ist R ⊂ P(X) ein Ring mit X ∈ R, so ist R ist eine Algebra.4. Sei A eine σ-Algebra. Sind A 1 , A 2 , A 3 , . . . abzählbar viele Mengen aus A, dann gilt∞⋂A k ∈ A.k=15. Der Durchschnitt beliebig vieler σ-Algebren ist eine σ-Algebra.Beweis: 1. Sei R ein Ring.• Da R nicht leer ist, gibt es eine Menge A ∈ R. Folglich ist ∅ = A\A ∈ R.• A, B ∈ R ⇒ A ∩ B = A \ (A \ B) ∈ R.• Die dritte Aussage beweist man durch Induktion2. Sei A eine Algebra.• A ∈ A ⇒ X\A ∈ A ⇒ X = A ∪ (X\A) ∈ A.• ∅ = X\X ∈ A.• Seien A, B ∈ A. Dann giltA\B = A ∩ (X\B) = (X\(X\A)) ∩ (X\B) = X\((X\A) ∪ B) ∈ A .} {{ }∈ADen Rest beweist man analog.6