Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

dicht im Raum der L p -Funktionen L p (X, A, µ) liegt (dies sind analoge Argumente wie z.B.beim Beweis des Satzes von Fubini). D.h. es giltL p = cl ( Lin(F) ) .Wir zeigen nun, dass man jede charakteristische Funktion χ A ∈ F beliebig dicht durcheine stetige L p -Funktion approximieren kann. Sei dazu A ⊂ X eine A-meßbare Mengevon endlichem Maß µ(A) < +∞. Wir fixieren ein ε > 0. Nach Voraussetzung existierenabgeschlossene Mengen F 1 ⊂ A mit µ(A \ F 1 ) < ε und F 2 ⊂ X \ A mit µ((X \ A) \ F 2 ) < ε .Offensichtlich ist F 1 ∩F 2 = ∅ . Der Ausdehnungssatz von Titze aus der Topologie besagt: Ist(X, d) ein metrischer Raum und seien F 1 , F 2 ⊂ X zwei disjunkte abgeschlossene Mengen.Dann existiert eine stetige Funktion ϕ : X → [0, 1] so dass ϕ| F1 ≡ 1 und ϕ| F2 ≡ 0. Für einesolche Funktion ϕ erhalten wir∫‖χ A − ϕ‖ p p = |χ A − ϕ| p dµX∫∫∫∫= |χ A − ϕ| p dµ + |χ A − ϕ| p dµ + |χ A − ϕ| p dµ + |χ A − ϕ| p dµA\F 1 F 1 (X\A)\F 2 F 2∫∫≤ 1 · dµ + 0 + 1 · dµ + 0A\F 1 (X\A)\F 2= µ(A \ F 1 ) + µ((X \ A) \ F 2 ) < 2ε .Somit ist χ A − ϕ ∈ L p . Da χ A ∈ L p , folgt ϕ ∈ L p ∩ C(X). Wir haben damit bewiesen, dassF ⊂ cl ( L p ∩ C(X) ) (∗) .Wir bilden in (*) die lineare Hülle beider Räume und benutzen, dass L p ∩ C(X) ein Vektorraumist. Die Bildung der linearen Hülle ist eine monotone Operation, deshalb istLin(F) ⊂ Lin cl ( L p ∩ C(X)) )⊂ cl ( Lin(L p ∩ C(X)) )= cl ( L p ∩ C(X) ) ,Somit istalsoL p = cl ( Lin(F) ) ⊂ cl ( L p ∩ C(X) ) ⊂ L p ,L p = cl ( L p ∩ C(X) ) .70