Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

also|DetL|(λ n (A) − ε) ≤ |DetL| λ n (F ε ) ≤ |DetL| · λ n (U ε ) (b)= λ n (L(U ε ))= λ n (L(F ε )) + λ n (L(U ε \F ε ) ≤ λ n (L(A)) + |DetL| · λ n (U ε \F ε )} {{ }offen= λ n (L(A)) + |DetL| · λ n ((U ε \A) ∪ (A\F ε ))≤ λ n (L(A)) + |DetL| · (ε + ε)Mit ε → 0 ergibt sich|DetL| · λ n (A) ≤ λ n (L(A)).(∗∗)(∗) und (∗∗) ergeben die Behauptung.Bemerkungen:1. Das Lebesgue-Maß ist insbesondere bewegungsinvariant. Sei F : R n → R n eine EuklidischeBewegungF (x) = Lx + x 0 , L ∈ O(n) , x 0 ∈ R n .Dann gilt: Ist A ∈ L(R n ), so ist F (A) ∈ L(R n ) und λ n (F (A)) = λ n (A).2. In Kapitel 11.6 werden wir das Lebesgue-Maß λ n (F (A)) für einen beliebigen C 1 -Diffeomorphismus F bestimmen (Transformationsformel für das Lebesgue-Integral).Eine Modifikation des Lebesgue-Maßes erhält man durch Gewichtung des Volumens vonQuadern:Das Lebesgue-Stieltjes-Maß im R nSei f : R 1 → R eine monoton-wachsende, linksseitig stetige Funktion. Für einen halboffenen∏Quader Q = n [a i , b i ) setzt mani=1n∏v f (Q) := (f(b i ) − f(a i )).i=1v f ist ebenfalls ein σ-endlicher σ-Inhalt auf dem Ring der Figuren R n . Das davon definierteäußere Maß vf ∗ heißt äußeres Lebesgue-Stieltjes-Maß und definiert(R n , A v ∗f, vf ∗ | Av ∗ ) Lebesgue-Stieltjes-Maß im R n .f11.3 Meßbare FunktionenSei (X, A, µ) ein Maßraum. In den folgenden Abschnitten wollen wir erklären, wie manFunktionen f : X → R integrieren kann. Das geht nicht für alle Funktionen (wie z.B. dasRiemann-Integral zeigt), sondern nur für eine Teilklasse, die “meßbaren” Funktionen.26