Rombuch

damit in gewissem Maße ” sinnvoll“ ist, müssen die Postulate wie auch die Axiome
(und entsprechend natürlich auch die Definitionen), vernünftig gewählt werden und
dürfen sich nicht widersprechen. Die Widerspruchsfreiheit der Postulate und Axiome
setzt Euklid stillschweigend voraus, ohne sie im einzelnen zu überprüfen oder zu
erwähnen. Das Problem scheint sich ihm nicht zu stellen, da er alles in der Praxis
anwenden kann.
Gefordert soll sein:
1. Da man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
2. Da man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern
kann,
3. Da man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann,
4. Da alle rechten Winkel einander gleich sind,
5. Und da, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt,
da innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen kleiner
als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins
Unendliche sich treffen auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die zusammen
kleiner als zwei Rechte sind.
(Euklid, Elemente, Buch 1, Postulate 1-5)
Die ersten drei Postulate sind im wesentlich die Forderung, dass Konstruktionen mit
Zirkel und Lineal möglich sind. Interessant ist, dass die Eindeutigkeit in Postulat 1
oder eine entsprechende äquivalente Formulierung fehlt, obwohl diese Eigenschaft in
Proposition 4 des ersten Buches benötigt wird. Proklos versucht die Eindeutigkeit in
seinem Kommentar zu beweisen, muss es aber als Axiom hinzufügen.
Das vierte Postulat kann man statt zu den Postulaten auch zu den Axiomen zählen,
da dieses nichts über die Konstruierbarkeit aussagt. Das Postulat, so unscheinbar es
auch aussieht, impliziert auch die Invarianz von Figuren unter Translationen. Hilbert
zeigt im Anschluss an die Axiomengruppe III, dass dieses Axiom von seinen anderen
abhängt.
Die ersten vier Postulate entsprechen dem Beobachtbaren bzw. dem in der Wirklichkeit
Ausführbaren. Dasselbe gilt auch für das Parallelenpostulat 5, dem die Euklidische
Geometrie ihren Namen verdankt und das seine eigene Geschichte hat, wenngleich es
in dieser Fassung schwer einsichtig ist. Verständlicher ist das bei der äquivalenten Aussage,
dass die Winkelsumme im Dreieck zwei rechten Winkeln entspricht.
Schon Ptolemäus hat versucht, dieses aus den andern Axiomen herzuleiten. Ebenso
haben sich Proklus, Tabit ibn Qurra, Nasiraddin at-Tusi, Borelli, Wallis, Lambert und
Legendre vergeblich daran versucht. Gauß schließlich erkannte, ohne jedoch seine
Ergebnisse zu veröffentlichen, dass das Parallelenpostulat von den übrigen wirklich
unabhängig ist und dass auch unter Wegnahme des Postulats eine sinnvolle Geometrie
entsteht. Bolya und Lobatschweski schließlich veröffentlichten dann unabhängig
voneinander ihre Ausführungen über dieses Thema und zeigten damit die Existenz
nichteuklidischer Geometrien.
2.2.2.4 Die Axiome
Eine weitere Gruppe der zu Grunde gelegten Aussagen stellen die Axiome dar. Insbesondere
die ersten vier Postulate stellen etwas Beobachtbares bzw. Ausführbares wie
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