Rombuch

seinem Lehrer Whitehead hatte er schließlich eine Idee, über die sie ein ausführliches
Buch, die ” Principia Mathematica“ schrieben. Ihre Idee nannten sie ” Typentheorie“. Sie
ging ungefähr so:
Die beiden wollten die Objekte der Welt in Stufen einteilen. Ganz konkrete Dinge,
wie z.B. Häuser, Bücher oder auch Zahlen sollten die unterste Stufe bilden. Die zweite
Stufe sollten die Mengen sein, die diese Dinge aus der ersten Stufe enthalten, z.B. die
Menge der Häuser, der Bücher oder der Zahlen. Jede Menge sollte also nur Objekte
einer niedrigeren Stufe enthalten. So konnte eine Menge wie die aus der Russellschen
Antinomie gar nicht erst gebildet werden.
Doch war auch diese Typentheorie kein Ausweg aus der Krise. Man hätte wichtige
Teile der Mathematik nun nur beweisen können, indem man viele komplizierte
Zusatzannahmen hinzunähme. Jederzeit könnte durch diese Zusatzannahmen wieder
so ein alles zerschmetternder Widerspruch auftreten. Schweren Herzens mussten sich
die Mathematiker das Scheitern des Logizismus eingestehen, d.h. sich von der Idee
verabschieden, dass sich die gesamte Mathematik auf die Logik zurückführen ließe.
Doch es war noch nicht aller Tage Abend. Andere Wege wurden beschritten, die der
Mathematik aus der Krise helfen könnten. Ein Weg war der des Formalismus, den
David Hilbert mit seinen Anhängern erkundete. Den Weg in die andere Richtung, den
des Intuitionismus, beschritt ein Mann mit Namen Luitzen Egbertus Jan Brouwer.
5.2 Der Vorabend der Grundlagenkrise
Das Scheitern von Freges und später auch Russells logizistischer Grundlegung wird
in einigen Teilen der mathematischen Welt als große Krise empfunden und ruft Verunsicherung
hervor. Das ist aus unserer heutigen Auffassung von Mathematik heraus
zunächst unverständlich. Man könnte doch einfach sagen: Na und? Diese Grundle-
”
gung ist gescheitert, aber das bedeutet nicht, dass es überhaupt keine gibt.“ Um diese
Zusammenhänge zu erfassen, muss man sich die Ideengeschichte der Mathematik
bis zu diesem Zeitpunkt genauer anschauen, insbesondere die Entwicklungen in der
Analysis und der Logik im 19. Jahrhundert.
Mit der Entdeckung und Entwicklung der Differential- und Integralrechnung durch
Newton und Leibniz Ende des 17. Jahrhunderts macht die Mathematik, und speziell die
Analysis, einen riesigen Sprung. Dieser Gedankenschritt ist wahrscheinlich der größte
Einzelschritt in der Entwicklung der westlichen Mathematik seit der griechischen Antike.
Durch die große Vielfalt der Anwendungen wird diese Entwicklung noch weiter
vorangetrieben und Physik und Mathematik bereichern sich gegenseitig.
Doch werden diese Errungenschaften nicht ohne einen Preis erstritten. Zwar ist vielen
zeitgenössischen Mathematikern intuitiv klar, mit was operiert wird, doch fehlt eine
einheitliche oder überhaupt eine formale Grundlage. Die Rigorosität, in deren Tradition
sich die Mathematiker seit Euklid sehen, kann nicht mehr in dieser Schärfe eingehalten
werden, vor allem, weil oft noch überhaupt nicht klar ist, mit was man operiert. In den
Beweisen der zeitgenössischen Analytiker finden sich dann oft Ausdrucksweisen wie
” das unendlich Kleine“ oder die Kurve, die im unendlich Kleinen gerade ist“. Auch
”
sind Grenzwertprozesse nicht immer klar. Es ist von Euler bekannt, dass er teilweise
beim Rechnen auch mit nicht-konvergenten Reihen operiert hat. Dass dabei letztendlich
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