Rombuch

der jahrhundertelangen Diskussion um das Parallelenpostulat wird die nichteuklidische
Geometrie entwickelt und das Gebiet der Differentialgeometrie entsteht mit Gauss
und Riemann. Es entwickeln sich aber auch Bestrebungen, der Geometrie ein sicheres
Fundament zu geben und von den Mängeln Euklids zu befreien, Pasch und Hilbert
sind hier entscheidende Personen.
Dieses Unterfangen ist nicht nur auf die Geometrie beschränkt, wenngleich hier Hilberts
Grundlagen einen prominenten Vertreter darstellen. Es gab in der gesamtem
Mathematik das Ziel, das axiomatische Fundament von Grund auf zu erneuern. Cantor,
Frege, Russel und Whitehead spielen hier eine Rolle, sowie natürlich Hilbert, mit
dem man das nach ihm benannte Hilbertprogramm aus den 1920er Jahren verbindet.
Auch viele andere Mathematiker haben ihren Teil dazu beigetragen, dass die Mathematik
gerade in dieser Zeit eine groe Entwicklung vollzogen hat.
Relevant für die weitere Betrachtung dieser Arbeit ist insbesondere Hilberts Bestreben,
die Mathematik und in exemplo die Geometrie auf ein möglichst vollständiges und
widerspruchsfreies Fundament zu stellen.
2.4.2 Die Grundlagen der Geometrie
Wir wollen nun ein wenig auf das eigentliche Werk Hilberts eingehen, die Grundlagen
der Geometrie, um daran die Unterschiede, aber auch die Gemeinsamkeiten mit Euklids
Elementen zu erkennen. Wir wollen dabei den Fokus auf die Stellen legen, die eine
Parallele in Abschnitt 2.2.2 haben, auch wenn dabei einige Aspekte der Grundlagen
nicht in dem Maße gewürdigt werden können, wie sie es verdient hätten.
Hilberts Grundlagen der Geometrie gliedern sich im wesentlichen in vier Abschnitte:
• Kapitel I: Das Axiomensystem
• Kapitel II: Die Widerspruchslosigkeit und gegenseitige Unabhängigkeit der Axiome
• Kapitel II-VII: Verschiedene Lehrsätze
• Anhänge
In Kapitel I wird das Axiomensystem der euklidischen Geometrie eingefhürt, ” ein Versuch,
für die Geometrie ein vollständiges und möglichst einfaches System von Axiomen
aufzustellen“, so Hilbert in seiner Einleitung. Dieses Axiomensystem stellt eine deutliche
Verbesserung der Axiome der Elemente dar und verbindet so die verschiedenen
früheren Ansätze.
Ein Abschnitt, den wir in den Elementen vergebens suchen, stellt das Kapitel ber die
Widerspruchslosigkeit und gegenseitige Unabhängigkeit der Axiome dar. Hier zeigt
Hilbert, dass die von ihm aufgestellten Axiome sich in der Tat nicht widersprechen,
aber auch, dass sie nicht voneinander abhängig sind, d.h., dass jedes Axiom notwendig
ist, um die von ihm beabsichtigte Geometrie zu erhalten. Er zeigt darin auch, dass sich
ohne das Parallelenaxiom eine sinnvolle Geometrie ergibt.
Seine Beweismethode ist dabei im Wesentlichen, dass er eine Geometrie angibt, in der
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