Rombuch

alle seine Axiome gelten, sich nicht widersprechen und unabhängig voneinander sind.
Erst hier verwendet Hilbert eine konkrete Geometrie. Bis dahin hat er sich beim Aufbau
seines Axiomensystems auf abstrake Geometrien beschränkt. Dies unterscheidet
ihn von Euklid, der gedanklich sich von Anfang in der intuitiven ebenen Geometrie
befindet.
In den weiteren Kapiteln werden verschiedene Sätze aus dem Axiomensystem hergeleitet,
darunter etwa die Sätze von Pascal und von Desargues. Dabei wird allerdings
nicht nur der Beweis als solches vorgeführt, sondern auch die Notwendigkeit der verschiedenen
Axiome, die zum Beweis notwendig sind. Es wird also gezeigt, welche
Axiome in einer Geometrie erfüllt sein müssen, damit diese Sätze gelten.
Im letzten Kapitel werden verschiedene Konstruktionen diskutiert, die mit Lineal und
Eichmaß, d.h. mit einer Möglichkeit Längen abzumessen, machbar sind, ein Thema,
das verwandt ist mit den Konstruktionen mit Zirkel und Lineal aus der Algebra.
Auch hier wird die Konstruierbarkeit auf die Lösbarkeit von bestimmten Gleichungen
zurückgefhrt. Außerdem werden aber auch konkrete Konstruktionen angegeben.
In den Anhängen, die das Werk abschließen und die den weiteren Auflagen hinzugefügt
sind, werden weitere Aspekte beleuchtet, die im Hauptteil unerwähnt oder zu kurz
geblieben sind. Diese Anhänge, die schon in frühen Auflagen mehr als die Hälfte des
eigentlichen Buches ausmachen – in der dritten Auflage besteht der Haupttext aus 120
Seiten, die Anhänge dagegen aus 159 –, haben verschiedenen Ursprung, größtenteils
entstammen sie aus Arbeiten, die Hilbert nach den Grundlagen veröffentlicht hat. Darunter
ist auch in Anhang I ein an Klein gerichteter Brief, der die Frage erörtert, ob die
gerade Linie wirklich die kürzeste Verbindung zweier Punkte darstellt.
2.4.3 Übersicht über die Axiome
Wir wollen nun das Axiomensystem in Kapitel I der Grundlagen darstellen, im nächsten
Abschnitt dann die Einführung der Objekte der euklidischen Geometrie und das Axiom
der linearen Vollständigkeit genauer betrachten.
Das Axiomensystem selbst ist unterteilt in fünf Gruppen:
• Axiome der Verknüpfung
• Axiome der Anordnung
• Axiome der Kongruenz
• Axiom der Parallelen
• Axiome der Stetigkeit
Jeder Abschnitt führt die zu seinem Gebiet notwendigen Axiome ein. Eingeflochten in
die Einführung der Axiome sind Abschnitte, in denen Aussagen bewiesen werden, die
direkt mit den Axiomen zu tun haben und die teilweise äquivalente Axiome darstellen,
wie etwa die Kongruenzsätze bei Dreiecken. Diese finden sich auch in den Elementen,
nämlich in den Propositionen 7, 8 und 22. Aber auch hier zeigt sich, dass das Axiomensystem
Euklids Lücken hat, denn um die Kongruenz zu zeigen, muss wenigstens
einer der Kongruenzsätze als wahr vorausgesetzt werden. Es genügt nämlich nicht
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