Rombuch

doch richtige Ergebnisse herauskamen, ist nur Eulers überragender Intuition für das
richtige Ergebnis und den geschickten Umgang mit diesen Konstrukten zu verdanken.
Soweit die Situation zum Anfang des 19. Jahrhunderts.
Im 19. Jahrhundert macht man sich nun auf, diesen Makel zu bereinigen und sich
wieder auf die Grundlagen zu besinnen. Cauchy ist es, der in seiner Vorlesung ” Cours
d’Analyse“ 1824 zum ersten Mal Begriffe wie Grenzwert einer Folge, Stetigkeit mittels
Epsilon-Delta-Kriterium und den Differentialquotienten als Grenzwert einführt.
Dieser Fortschritt ist revolutionär in vielerlei Hinsicht. Nicht nur, weil dies schon sehr
moderne Definitionen sind, die teilweise heute noch genau so gelten. Die wirkliche
Genialität liegt darin, dass diese Begriffe damit arithmetisiert und somit (aus heutiger
Sicht) überhaupt erst mathematisiert sind. Man muss sich nicht länger über anschauliche,
sondern kann sich über mathematische Begriffe streiten und Behauptungen mit
mathematischen Mitteln nachrechnen und prüfen.
Auch wenn dies sicherlich ein großer Schritt in die richtige Richtung ist, so ist es
nicht der einzig wichtige. Denn viele weitere Begriffe aus Newtons und Eulers Erbe
benötigen noch weitere Klärung. So schlägt Dirichlet 1828 einen modernen Funktionsbegriff
vor als ” ideale Tabelle“: Funktionen werden nicht länger als ihr Graph oder ihr
analytischer Ausdruck aufgefasst (was eine große Quelle der Verunsicherung eliminiert,
die darin gesehen wurde, dass ein- und dieselbe Funktion durch verschiedene
Ausdrücke darstellbar ist), sondern als gedachte Tabelle, die jedem Ursprungswert
ihren Bildwert zuordnet – nicht mehr und nicht weniger. Dies öffnet aber die Tür zu
neuen Problemen. Plötzlich hält eine ganz neue Art von Funktionen Einzug in die
mathematische Welt – die sogenannten Monsterkurven –, sodass die Verunsicherung
damit noch nicht endgültig beseitigt, sondern nur verschoben wird.
Bevor wir uns aber der letzten Stufe dieser Entwicklung zuwenden, müssen wir
noch einmal kurz an den Anfang des 19. Jahrhunderts springen, denn in anderen
Gebieten legt man Grundlagen, die sich am Ende schließlich mit den eben betrachteten
Entwicklungen zu einer einheitlichen Geschichte verbinden, die uns dann in wenigen
Schritten zu Frege und Russell führen wird.
In den 1820er Jahren beschäftigen sich einige Leute eingehender mit dem Vermächtnis
von Euklid, genauer gesagt mit dem Parallelenpostulat. Seit Euklid versuchen
Mathematiker das Parallelenpostulat aus den anderen Axiomen und Postulaten herzuleiten
und dies auf einen Beweis durch Widerspruch aufzubauen: Angenommen das
fünfte Postulat wäre nicht wahr, könnte man daraus einen Widerspruch ableiten? Es
stellt sich heraus, dass dies nicht passiert! Vielmehr schaffen dadurch die Herren Bolyai
und Lobatschewski alternative Geometrien, die zwar anderen Gesetzen gehorchen,
aber in sich konsistent und vorstellbar sind.
Diese Entdeckungen rufen zwei Tendenzen hervor: Zunächst wird es im 19. Jahrhundert
wieder modern, Axiomensysteme für die Modelle zu entwickeln und zu verwenden.
Dieser Trend wird durch die Fortschritte der formalen Logik noch weiter
verstärkt. Zum Anderen liefern sie auch eine Motivation, jeden mathematischen Begriff
genauer zu hinterfragen, zu definieren und im Zweifel zu axiomatisieren.
Und hier schließt sich letztendlich unser Kreis, denn Ende des 19. Jahrhunderts ist
man dann so weit, anzuerkennen, dass selbst die reellen Zahlen noch einer rigorosen
Grundlegung bedürfen. Es entstehen in den 1870er Jahren gleich drei bedeutende
Axiomatisierungen: von Weierstraß, Dedekind und von Cantor. Vor allem Cantors
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