Rombuch

Die gegebene Strecke sei AB. Man soll über der Strecke AB ein gleichseitiges
Dreieck errichten. Mit A als Mittelpunkt und AB als Abstand zeichne
man den Kreis BCD (Post. 3), ebenso mit B als Mittelpunkt und BA als Abstand
den Kreis ACE; ferner ziehe man vom Punkte C, in dem die Kreise
einander schneiden und den Punkten A, B die Strecken CA, CB (Post. 1). Da
Punkt A Mittelpunkt des Kreises CDB ist, ist AC = AB (I, Def. 15); ebenso ist,
da Punkt B Mittelpunkt des Kreises CAE ist, BC = BA. Wie oben bewiesen,
ist auch CA = AB; also sind CA und CB beide = AB. Was aber demselben
gleich ist, ist auch einander gleich (Ax. 1); also ist auch CA = CB; also sind
CA, AB, BC alle drei einander gleich. Also ist das Dreieck ABC gleichseitig
(I, Def. 20); und es ist über der gegebenen Strecke AB errichtet – dies hatte
man ausführen sollen.
(Euklid, Elemente, Buch 1, Proposition 1)
Die Propositionen haben bei Euklid eine klare Struktur und die einzelnen Teile
innerhalb eines solchen Abschnittes haben spätestens seit Proklos folgende Bezeichnungen:
• Protasis (πρóτασις).
• Ekthesis (´ɛκθɛσις).
• Diorismos (διoρισµóς).
• Kataskeue (κατασκɛυ ´η).
• Apodeixis (απóδɛιξις).
• Sumperasma (σoυµπ´ɛρασµα).
In der Protasis wird die Aussage oder das Konstruktionsproblem der Proposition in
Worten beschrieben. In Proposition 1 entspricht dies ” über einer gegebenen Strecke ein
gleichseitiges Dreieck zu errichten“. Es ist nun umrissen, worum es geht, jedoch noch
nicht in der mathematischen Sprache ausgedrückt. Dies erfolgt in den nächsten beiden
Abschnitten. In der Ekthesis werden die Voraussetzungen in mathematischer Schreibweise
angegeben, hier: ” Die gegebene Strecke sei AB“. Im Diorismos folgt dann das
Ziel des Abschnitts, die Aussage der Proposition bzw. das zu konstruierende Objekt
( ” Man soll über der Strecke AB ein gleichseitiges Dreieck errichten“).
Nachdem nun die Ausgangslage dargestellt ist, folgt die Kataskeue, die konkrete Anweisung,
die angibt, wie das gesucht Objekt konstruiert wird. Diese Konstruktion muss
nicht eindeutig sein Es kann unter Umständen andere Möglichkeiten geben, das entsprechende
Objekt zu erhalten. So erhält man in der ebenen Geometrie beispielsweise
in Proposition 1 zwei Schnittpunkte und kann so zwei gleichseitige Dreiecke konstruieren,
die sich in diesem Fall aber nur in der Lage unterscheiden. Lässt man dagegen
Axiome weg, so kann man auch tatsächlich verschiedene Objekte erhalten, die weiterhin
Definition 20 erfüllen.
Da a priori nicht klar ist, ob dieses Objekt auch die gewünschten Eigenschaften hat,
folgt der Beweis in der Apodeixis, in der dieses sichergestellt wird. Zuletzt wird in
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