Rombuch

Abbildung 5.2: Luitzen Egbertus Jan Brouwer
matik ist für ihn eine geistige Konstruktion, die von Worten nur begleitet wird: Die
Worte sind Hilfsmittel, um in anderen Menschen Kopien von den mathematischen
Konstruktionen zu erzeugen, die im isolierten Selbst erschaffen wurden. Mathematik
und Sprache sind also voneinander unabhängig. Die Argumente der Logik jedoch beträfen
Worte, sie seien sprachliche Konstruktionen. Für Brouwer ist Mathematik ” vor“
der Sprache. Darin liegt für ihn die Reinheit der Mathematik: Dass sie ” um ihrer selbst
willen“ betrieben werden kann ohne in die Welt einzuwirken und dadurch Macht
auszuüben. An Hilberts Formalismus kritisiert Brouwer, dass dieser die Mathematik
als eine Sprache aufbaue. Im Gegensatz zu Hilbert meint er außerdem, dass aus der
Widerspruchslosigkeit eines Systems nicht folgt, dass dieses einen Sinn trägt.
1908 publiziert Brouwer einen Artikel, in dem er zum ersten Mal explizit das Prinzip
des ausgeschlossenen Dritten und den daraus folgenden Widerspruchsbeweis in Frage
stellt. Er meint zwar, dass dieser in endlichen Systemen zulässig ist, da hier auch eine
Maschine oder ein trainiertes Tier die überprüfung vornehmen könne, nicht aber in
unendlichen Systemen. Später liefert er zu dieser These noch sogenannte ” Brouwersche
Gegenbeispiele“, die demonstrieren sollen, warum der Widerspruchsbeweis nicht in
unendlichen Systemen funktioniert. Hier eines dieser Beispiele: Man konstruiere eine
Zahl a, welche die gleiche Dezimalbruchentwicklung wie π hat, solange in π nicht eine
bestimmte endliche Ziffernfolge vorkommt. Sobald die Ziffernfolge auftaucht, sollen
alle weiteren Nachkommastellen gleich 0 sein. Man kann nun aber nicht sagen, ob eine
bestimmte Ziffernfolge in der Dezimalbruchentwicklung von π vorkommt, kann also
auch nicht sagen, ob a < π oder a = π.
5.5 Der Grundlagenstreit
In den vorhergehenden Kapiteln ist klar geworden, wie sich die Ideengrundlage der
Mathematik gegen Ende des 19. und Anfang des 20. Jahrhunderts herauskristallisiert
und wie dann in einem zweiten Schritt aus diesen Bausteinen zwei verschiedene Arbeitsphilosophien
– manifestiert in Formalismus und Intuitionismus – ausgearbeitet
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